Infinitesimal: definición, historia y formalizaciones matemáticas

Características e idea básica

De manera informal, un infinitesimal x satisface la propiedad de que para todo número real positivo ε, |x| < ε. Esa caracterización no puede darse dentro de los números reales (el único número real con esa propiedad es 0), por lo que se han desarrollado distintos marcos para dar a los infinitesimales un significado preciso. En la práctica, los matemáticos distinguen entre el uso heurístico de los infinitesimales (como en el cálculo temprano) y los objetos formales, como los elementos de un campo de números hiperreales.

Desarrollo histórico

El razonamiento infinitesimal fue central en el desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII por Newton y Leibniz, quienes utilizaron métodos distintos de estilo infinitesimal para calcular derivadas e integrales. Más tarde, los críticos cuestionaron la falta de una base rigurosa, lo que llevó a la reformulación del cálculo en el siglo XIX mediante límites y definiciones épsilon-delta, gracias a Cauchy y Weierstrass.

Formalizaciones modernas

• Límites y épsilon: El enfoque estándar sustituye los infinitesimales por procesos de límite que evitan introducir nuevos tipos de números.
• Análisis no estándar: Introducido en el siglo XX, construye los números hiperreales para incluir infinitesimales reales no nulos y números infinitamente grandes, manteniendo las reglas habituales de la aritmética.
• Análisis infinitesimal suave: Emplea lógica intuicionista e infinitesimales nilpotentes en un marco categórico para la geometría diferencial y enfoques sintéticos.

Usos y distinciones importantes

Los infinitesimales reaparecen en física, ingeniería y geometría diferencial como un lenguaje cómodo para las tasas de cambio (dx, dy, diferenciales) y las aproximaciones lineales locales. Conviene distinguir entre el término informal infinitesimal y las implementaciones formales concretas: distintos marcos ofrecen propiedades y técnicas de demostración diferentes, y solo algunos tratan a los infinitesimales como números reales y no como una abreviatura del comportamiento límite.