En matemáticas, un intervalo es el conjunto de todos los números reales que se encuentran entre dos valores dados (llamados extremos o extremos del intervalo). Los números mayores que el extremo inicial y menores que el extremo final pertenecen al intervalo; los que están fuera de esos límites no. Cada extremo puede estar incluido o excluido, lo que da lugar a distintos tipos de intervalos.

Notación y cómo leer los intervalos

La forma habitual de escribir un intervalo es con corchetes y/o paréntesis: primero el extremo izquierdo, luego una coma, y después el extremo derecho. El significado de los signos es:

  • [ o ] indican que el extremo correspondiente está incluido (intervalo cerrado).
  • ( o ) indican que el extremo correspondiente no está incluido (intervalo abierto).

Ejemplos y lectura:

  • [3, 15]: “intervalo cerrado de 3 a 15” — incluye 3 y 15; representa {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 15}.
  • (3, 15): “intervalo abierto de 3 a 15” — no incluye 3 ni 15; representa {x ∈ R | 3 < x < 15}.
  • [3, 15): “intervalo semicerrado por la izquierda y abierto por la derecha” — incluye 3, no incluye 15; representa {x ∈ R | 3 ≤ x < 15}.
  • (−2.5, 4.75): ejemplo con decimales — incluye todos los reales entre −2,5 y 4,75, excluyendo los extremos.

Intervalos infinitos

Cuando un intervalo no tiene límite por un lado se usa el símbolo ∞ o −∞. Estos símbolos no son números y siempre se escriben con paréntesis porque no pueden incluirse:

  • (a, ∞): todos los números mayores que a (no incluye a).
  • [a, ∞): todos los números mayores o iguales a a.
  • (−∞, b) o (−∞, b]: todos los números menores que b (o menores o iguales, si se usa corchete).

Notación de conjuntos y desigualdades

Un intervalo también puede escribirse usando desigualdades o la notación de conjuntos:

  • [a, b] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }
  • (a, b) = { x ∈ R | a < x < b }
  • (−∞, b] = { x ∈ R | x ≤ b }

Representación en la recta numérica

En la recta numérica, un intervalo se dibuja sombreando la parte situada entre los dos extremos. Se suele marcar un punto sólido (●) si el extremo está incluido o un punto abierto (○) si está excluido. Para intervalos infinitos, se dibuja una flecha hacia la izquierda o la derecha.

Operaciones con intervalos

Dos operaciones frecuentes son la unión y la intersección:

  • La unión A ∪ B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Por ejemplo, [1,3] ∪ (2,5) = [1,5).
  • La intersección A ∩ B contiene los elementos comunes a A y B. Por ejemplo, [1,3] ∩ (2,5) = (2,3].

Consejos sobre la notación con decimales

En algunos países hispanohablantes la coma se usa como separador decimal (por ejemplo, 3,3). Como la coma también separa los extremos en la notación de intervalos, se puede optar por:

  • usar el punto decimal (3.3) y la coma para separar extremos: (3.3, 15);
  • usar la coma decimal y separar extremos con un punto y coma: (3,3; 15);
  • o escribir en forma de desigualdad o notación de conjuntos para evitar ambigüedad: { x ∈ R | 3,3 < x < 15 }.

Ejemplos prácticos

  • [0, 1] contiene 0, 0,5 y 1, pero no −0,1 ni 1,01.
  • (4, 9,6) es ambigua si se usan comas decimales; mejor escribir (4, 9.6) o (4; 9,6). Significa todos los números mayores que 4 y menores que 9,6.
  • [-100, 100] contiene todos los números entre −100 y 100, incluidos ambos extremos.
  • [-30, −4) contiene −30 y los números hasta −4 (no incluye −4).

Los intervalos son una herramienta básica y muy útil en análisis, álgebra, estadística y otras ramas de las matemáticas para describir subconjuntos de la recta real de forma compacta y precisa.