Topología geométrica: variedades, nudos y encajes

Objetos y conceptos típicos

Entre las nociones centrales se encuentran las variedades n-dimensionales, los encajes y las inmersiones, los tipos de nudos y enlaces en tres dimensiones, y los grupos de trenzas que codifican los intercambios de hebras. Los topólogos geométricos utilizan invariantes —por ejemplo, el grupo fundamental, la homología y otros invariantes algebraicos o analíticos más refinados— para distinguir objetos no equivalentes. La teoría de nudos y los invariantes de enlaces constituyen una subárea importante con enfoques tanto combinatorios como geométricos; vea teoría de nudos para ejemplos ilustrativos.

Historia y desarrollo

La disciplina creció rápidamente a mediados del siglo XX, cuando convergieron métodos geométricos, analíticos y algebraicos. Los resultados fundacionales en dimensiones superiores surgieron de la teoría de cirugía y del teorema de h-cobordismo en la década de 1960, mientras que la topología en cuatro dimensiones mostró un comportamiento excepcional que condujo a descubrimientos profundos en la década de 1980 y después. Entre los avances más recientes figuran la clasificación geométrica de las tres-variedades y técnicas analíticas relacionadas; los resúmenes históricos aparecen en historia de la topología.

Métodos y aplicaciones

Las técnicas comunes son las descomposiciones en asas, la cirugía, la teoría de Morse, la geometría hiperbólica y los invariantes de tipo gauge o de tipo Floer. Estas herramientas conectan la topología geométrica con la geometría diferencial, la topología algebraica y la física matemática. Entre las aplicaciones concretas se incluyen la clasificación de superficies y tres-variedades, el estudio de las energías de nudos y los modelos de anudamiento del ADN, así como las interacciones con la dinámica y la teoría de grupos.

Subáreas y distinciones notables

Las subáreas importantes incluyen la topología de baja dimensión (dimensiones dos a cuatro), la clasificación de variedades en alta dimensión y la teoría de nudos y trenzas. La topología geométrica se diferencia de la topología puramente algebraica por su atención a las estructuras geométricas y los encajes, y de la topología diferencial por aceptar variedades topológicas que pueden carecer de estructuras suaves. A continuación se enumeran temas de investigación típicos.

• Clasificación de variedades y existencia de estructuras suaves exóticas
• Invariantes de nudos y enlaces, concordancia y cobordismo
• Estructuras geométricas en variedades (por ejemplo, estructuras hiperbólicas)
• Relaciones con los grupos de clases de mapeo y la teoría de Teichmüller