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Politopo regular convexo de 4 dimensiones

Autor: Leandro Alegsa

20-12-2021

En matemáticas, un politopo regular convexo (o policoro) es un politopo de cuatro dimensiones (4D) que es a la vez regular y convexo. Son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos (en tres dimensiones) y de los polígonos regulares (en dos dimensiones).

Estos politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. Schläfli descubrió que existen precisamente seis figuras de este tipo. Cinco de ellas pueden considerarse análogos de mayor dimensión de los sólidos platónicos. Hay una figura adicional (la célula 24) que no tiene un equivalente tridimensional.

Cada politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todos sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Éstas se encajan a lo largo de sus respectivas caras de forma regular.

Propiedades

En las siguientes tablas se enumeran algunas propiedades de los seis polígonos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos polícoras son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del mismo.

Nombres	Familia	Schläfli símbolo	Vértices	Bordes	Caras	Células	Cifras de vértices	Politopo doble	Grupo de simetría
Pentacorón5-célulapentatopirámidehipertetraedro4-símplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 triángulos	5tetraedros	tetraedros	(autodual)	A ₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hipercubo (n-cubo)	{4,3,3}	16	32	24 plazas	8 cubos	tetraedros	16 celdas	B ₄	384
Hexadecachoron16-cellorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex	politopo cruzado (n-ortotipo)	{3,3,4}	8	24	32 triángulos	16tetraedros	octaedros	tesseract	B ₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolioctaedro		{3,4,3}	24	96	96 triángulos	24octaedros	cubos	(autodual)	F ₄	1152
Hecatónicosachoron120 célulasdecaplexhiperdodecaedropolidecaedro		{5,3,3}	600	1200	720 pentágonos	120dodecaedros	tetraedros	600 celdas	H ₄	14400
HexacosicorónTetraplex de 600 célulasHipericosaedroPolitetraedro		{3,3,5}	120	720	1200 triángulos	600 tetraedros	icosahedra	120 celdas	H ₄	14400

Dado que los límites de cada una de estas figuras son topológicamente equivalentes a una 3-esfera, cuya característica de Euler es cero, tenemos el análogo cuatridimensional de la fórmula poliédrica de Euler:

N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

donde N_k denota el número de caras k en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).

Visualizaciones

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los otros sitios web que aparecen a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se indican debajo del símbolo deSchläfli.

5 celdas	8 celdas	16 celdas	24 celdas	120 celdas	600 celdas
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Proyecciones ortográficas alámbricas dentro de los polígonos de Petrie.

Proyecciones ortográficas sólidas
envolturatetraédrica (centrada en la célula/vértice)	envoltura cúbica (centrada en la célula)	envolturaoctaédrica (centrada en el vértice)	envolturacuboctaédrica (centrada en la célula)	sobre de romboedro truncado (centrado en la célula)	Sobre icosidodecaédrico de Pentakis (centrado en el vértice)
Diagramas de Schlegel (proyección en perspectiva)
(Centrado en la célula)	(Centrado en la célula)	(Centrado en la célula)	(Centrado en la célula)	(Centrado en la célula)	(Centrado en el vértice)
Proyecciones estereográficas alámbricas (hiperesféricas)

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Sólido platónico

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un 4-politopo regular convexo?

R: Un 4-politopo regular convexo es un politopo de 4 dimensiones que es a la vez regular y convexo.

P: ¿Cuáles son los análogos de los 4-politopos regulares convexos en tres y dos dimensiones?

R: Los análogos de los 4-politopos regulares convexos en tres dimensiones son los sólidos platónicos, mientras que en dos dimensiones son los polígonos regulares.

P: ¿Quién describió por primera vez los 4-politopos regulares convexos?

R: El matemático suizo Ludwig Schläfli describió por primera vez los 4-politopos regulares convexos a mediados del siglo XIX.

P: ¿Cuántos 4-politopos regulares convexos hay?

R: Existen exactamente seis 4-politopos regulares convexos.

P: ¿Cuál es la característica única del politopo de 24 celdas entre los 4-politopos regulares convexos?

R: El politopo de 24 celdas no tiene equivalente tridimensional entre los 4-politopos regulares convexos.

P: ¿Cuáles son las celdas tridimensionales que limitan cada 4-politopo regular convexo?

R: Cada 4-politopo regular convexo está limitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todos sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño.

P: ¿Cómo se encajan las celdas tridimensionales en un 4-politopo regular convexo?

R: Las celdas tridimensionales se encajan entre sí a lo largo de sus respectivas caras de forma regular en un 4-politopo regular convexo.