Politopo regular convexo de 4 dimensiones
En matemáticas, un politopo regular convexo (o policoro) es un politopo de cuatro dimensiones (4D) que es a la vez regular y convexo. Son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos (en tres dimensiones) y de los polígonos regulares (en dos dimensiones).
Estos politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. Schläfli descubrió que existen precisamente seis figuras de este tipo. Cinco de ellas pueden considerarse análogos de mayor dimensión de los sólidos platónicos. Hay una figura adicional (la célula 24) que no tiene un equivalente tridimensional.
Cada politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todos sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Éstas se encajan a lo largo de sus respectivas caras de forma regular.
Propiedades
En las siguientes tablas se enumeran algunas propiedades de los seis polígonos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos polícoras son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del mismo.
| Nombres | Familia | Schläfli | Vértices | Bordes | Caras | Células | Cifras de vértices | Politopo doble | Grupo de simetría | |
| Pentacorón5-célulapentatopirámidehipertetraedro4-símplex | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5tetraedros | tetraedros | (autodual) | A 4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube | hipercubo | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | tetraedros | 16 celdas | B 4 | 384 |
| politopo cruzado | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16tetraedros | octaedros | tesseract | B 4 | 384 | |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolioctaedro | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24octaedros | (autodual) | F 4 | 1152 | ||
| Hecatónicosachoron120 célulasdecaplexhiperdodecaedropolidecaedro | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120dodecaedros | tetraedros | 600 celdas | H 4 | 14400 | |
| HexacosicorónTetraplex de 600 célulasHipericosaedroPolitetraedro | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 tetraedros | icosahedra | 120 celdas | H 4 | 14400 | |
Dado que los límites de cada una de estas figuras son topológicamente equivalentes a una 3-esfera, cuya característica de Euler es cero, tenemos el análogo cuatridimensional de la fórmula poliédrica de Euler:
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,} 
donde Nk denota el número de caras k en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).
Visualizaciones
La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los otros sitios web que aparecen a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se indican debajo del símbolo deSchläfli.
| 5 celdas | 8 celdas | 24 celdas | 120 celdas | 600 celdas | |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
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| Proyecciones ortográficas alámbricas dentro de los polígonos de Petrie. | |||||
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| Proyecciones ortográficas sólidas | |||||
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| Diagramas de Schlegel (proyección en perspectiva) | |||||
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| Proyecciones estereográficas alámbricas (hiperesféricas) | |||||
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Páginas relacionadas
- Politopo regular
- Sólido platónico
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un 4-politopo regular convexo?
R: Un 4-politopo regular convexo es un politopo de 4 dimensiones que es a la vez regular y convexo.
P: ¿Cuáles son los análogos de los 4-politopos regulares convexos en tres y dos dimensiones?
R: Los análogos de los 4-politopos regulares convexos en tres dimensiones son los sólidos platónicos, mientras que en dos dimensiones son los polígonos regulares.
P: ¿Quién describió por primera vez los 4-politopos regulares convexos?
R: El matemático suizo Ludwig Schläfli describió por primera vez los 4-politopos regulares convexos a mediados del siglo XIX.
P: ¿Cuántos 4-politopos regulares convexos hay?
R: Existen exactamente seis 4-politopos regulares convexos.
P: ¿Cuál es la característica única del politopo de 24 celdas entre los 4-politopos regulares convexos?
R: El politopo de 24 celdas no tiene equivalente tridimensional entre los 4-politopos regulares convexos.
P: ¿Cuáles son las celdas tridimensionales que limitan cada 4-politopo regular convexo?
R: Cada 4-politopo regular convexo está limitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todos sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño.
P: ¿Cómo se encajan las celdas tridimensionales en un 4-politopo regular convexo?
R: Las celdas tridimensionales se encajan entre sí a lo largo de sus respectivas caras de forma regular en un 4-politopo regular convexo.
