En geometría cuatridimensional, una célula 16 es un policoro regular convexo o un politopo que existe en cuatro dimensiones. También se le conoce como hexadecachorón. Es uno de los seis polígonos regulares convexos descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.
Conway lo denomina ortotopo para el complejo ortotopo, así como toda la clase de politopos cruzados.
Descripción y propiedades básicas
El hexadecachorón es el politopo regular convexo correspondiente al cross‑polytope en cuatro dimensiones (también llamado orthoplex). Sus propiedades más destacadas son:
- Símbolo de Schläfli: {3,3,4}.
- Vértices: 8.
- Aristas: 24.
- Caras (2‑caras): 32 (triángulos).
- Celdas (3‑caras): 16 (tetraedros regulares).
- Figura en el vértice: octaedro regular (por eso el último número 4 en {3,3,4}).
Coordenadas y modelo canónico
Una representación sencilla del hexadecachorón centrado en el origen de R^4 es tomar como vértices los vectores unitarios en las cuatro direcciones y sus opuestos:
(±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).
Con estas coordenadas, la longitud de cada arista es √2 y las 16 celdas son tetraedros regulares congruentes. Esta disposición evidencia que el hexadecachorón es el orthoplex en 4D, análogo al octaedro en 3D.
Dualidad y relaciones con otros politopos
El hexadecachorón es el dual del tesseracto (8‑célula o 8‑cell). Es decir, intercambia vértices por celdas y aristas por caras respecto al tesseracto. Forma parte de la familia de los cross‑polytopes (ortoplos) en dimensiones superiores: en n dimensiones el cross‑polytope tiene 2n vértices.
Simetría
Su grupo de simetría completo corresponde al grupo hiper-octaédrico en 4 dimensiones (tipo B4), con orden 384 si se incluyen reflexiones; el subgrupo de rotaciones (preservando la orientación) tiene la mitad de ese orden. Esta riqueza de simetría refleja la regularidad completa del politopo.
Visualización y proyecciones
Como todos los politopos de dimensión mayor a 3, el hexadecachorón se visualiza mediante proyecciones en 3D o mediante secciones. Las proyecciones canónicas muestran la estructura en 4 capas de vértices (según su coordenada), y las proyecciones estereográficas o ortogonales permiten apreciar la disposición de las 16 celdas tetraédricas alrededor del centro.
Aplicaciones y contextos
El estudio del hexadecachorón aparece en teoría de poliedros regulares, combinatoria geométrica, grupos de Coxeter y en visualización geométrica de dimensiones superiores. Su relación con el tesseracto y con las familias regulares de poliedros facilita comprender dualidad, simetría y generalizaciones en n dimensiones.
