Ecuación de Young-Laplace: definición, tensión superficial y presión capilar

Ecuación de Young-Laplace: definición clara de tensión superficial y presión capilar, con fórmulas, ejemplos y aplicaciones en fluidos y fisiología.

En física, la ecuación de Young-Laplace (/ləˈplɑːs/) es una ecuación diferencial parcial no lineal que describe la diferencia de presión capilar a través de la interfaz entre dos fluidos estáticos, como el agua y el aire. Esta diferencia se debe al fenómeno de la tensión superficial o tensión de pared. La tensión de pared sólo puede utilizarse para paredes muy finas. La ecuación de Young-Laplace relaciona la diferencia de presión con la forma de la superficie o pared. Es muy importante en el estudio de las superficies capilares estáticas.

De forma general, la ecuación expresa que el salto de presión ΔP entre los dos lados de una interfaz curva es proporcional a la curvatura media de la superficie multiplicada por la tensión superficial γ:

ΔP = γ (1/R1 + 1/R2),

donde R1 y R2 son los radios de curvatura principales en cada punto de la superficie. Esta fórmula es local: se aplica en cada punto de la interfaz y determina cómo la geometría de la superficie se corresponde con el campo de presiones en los fluidos adyacentes.

Interpretación y casos particulares

• Gota esférica: Si la interfaz es una esfera de radio R (R1 = R2 = R), entonces ΔP = 2γ/R. Las gotas pequeñas (R pequeño) tienen presiones internas mayores.
• Tubo o cilindro: Si la superficie tiene curvatura sólo en una dirección (por ejemplo una interfase cilíndrica), R1 = R y R2 → ∞, por lo que ΔP = γ/R.
• Burbuja de jabón: Una burbuja formada por una película delgada tiene dos superficies (interna y externa). Si ambas tienen tensión superficial γ y el mismo radio R, el salto de presión entre el interior y el exterior es ΔP = 4γ/R (suma de las contribuciones de ambas superficies).

Relación con la fisiología (ley de Laplace)

En fisiología se suele hablar de la ley de Laplace para relacionar la presión interna P de un órgano hueco con la tensión en su pared. Hay que distinguir entre:

• Tensión superficial o de membrana T (fuerza por unidad de longitud, N/m): en el contexto capilar ΔP = T(1/R1 + 1/R2).
• Tensión axial o tensión en la paredesfuerzo (fuerza por unidad de área): en tejidos u órganos con pared de espesor t, la tensión por unidad de área (esfuerzo) se obtiene dividiendo la tensión por la espesor. Por ejemplo, para una aproximación de pared delgada:
• Para un cilindro (arteria ideal): T ≈ ΔP · R (tensión por unidad de longitud); el esfuerzo σ ≈ ΔP · R / t.
• Para una esfera (corazón o vejiga idealizada): T ≈ ΔP · R / 2; el esfuerzo σ ≈ ΔP · R / (2 t).

Estas fórmulas son útiles para entender por qué el radio y el grosor de la pared afectan la tensión y la probabilidad de rotura o dilatación.

Derivación física breve

Una derivación simple parte del equilibrio de fuerzas en una pequeña porción de la superficie: la tensión superficial γ actúa tangencialmente a lo largo del borde de un elemento de superficie curvo; su componente normativa compensa la diferencia de presión sobre el área proyectada. Alternativamente, puede derivarse por el principio del trabajo virtual: una variación infinitesimal de la forma que cambia el área superficial δA requiere un trabajo γ δA que debe igualar el trabajo realizado por la diferencia de presión ΔP sobre el volumen desplazado, lo que conduce a la condición ΔP = γ (curvatura media).

Condiciones de contorno y ángulo de contacto

La forma real de una interfase no sólo viene dada por la Young-Laplace, sino también por condiciones de contorno en los límites: al unirse a un sólido aparece un ángulo de contacto θ impuesto por el equilibrio entre las energías interfaciales sólido-líquido, sólido-gas y líquido-gas (ecuación de Young para el ángulo de contacto). Este ángulo determina, por ejemplo, la altura de ascenso capilar y el perfil de menisco en un tubo.

Ejemplos prácticos

• Ascenso capilar: En un tubo fino de radio r, el menisco curvado produce una presión capilar ΔP = 2γ cosθ / r. Equilibrando con la presión hidrostática ρ g h se obtiene la altura de ascenso h = 2γ cosθ / (ρ g r).
• Microfluidica: Control de gotas y interfaces en canales mediante diseño de curvatura y variación de tensión superficial.
• Porosidad y petróleo: La presión capilar determina la movilidad de fluidos en rocas porosas y condiciona la recuperación de hidrocarburos.
• Biología y medicina: Tensiones en alvéolos pulmonares, estabilidad de glóbulos sanguíneos, comportamiento de vesículas lipídicas y tensión en paredes vasculares (ley de Laplace) son fenómenos gobernados por estas relaciones.

Limitaciones y extensiones

• La ecuación es válida para equilibrio estático o para escalas en las que los efectos viscosos o dinámicos son despreciables. En regímenes dinámicos deben añadirse términos de tensión viscosa, efectos inerciales o dependencias temporales.
• Asume tensión superficial uniforme. Gradientes de tensión (efecto Marangoni) pueden inducir flujo y modificar la forma de la interfase.
• No incluye directamente efectos elásticos o de curvatura restringida: membranas elásticas o superficies con rigidez a la flexión requieren modelos más completos (energía de Helfrich, elasticidad de membranas).
• A escalas moleculares o cuando los radios de curvatura son comparables al tamaño molecular, la noción clásica de tensión superficial y curvatura continua puede fallar.

Unidades y magnitudes típicas

• La tensión superficial γ se mide en N/m. Para el agua pura a 20 °C γ ≈ 0,072 N/m.
• Si R está en metros, ΔP queda en pascales (N/m²). Por ejemplo, una gota de radio 1 mm tiene ΔP ≈ 2·0,072 / 0,001 ≈ 144 Pa (≃ 0,0014 atm).

Historia

La ecuación lleva el nombre de Thomas Young, que desarrolló la teoría cualitativa de la tensión superficial en 1805, y de Pierre-Simon Laplace, que completó la descripción matemática al año siguiente. A veces también se denomina ecuación de Young-Laplace-Gauss: Carl Friedrich Gauss unificó los trabajos de Young y Laplace en 1830. Gauss derivó tanto la ecuación diferencial como las condiciones de contorno utilizando los principios del trabajo virtual de Johann Bernoulli.

Conclusión

La ecuación de Young-Laplace es una relación fundamental que conecta geometría (curvatura) y termodinámica (tensión superficial) con la mecánica de fluidos (salto de presión). Sus aplicaciones van desde la física de gotas y burbujas hasta la biomedicina y la ingeniería de superficies; comprender sus supuestos y límites es clave para aplicarla correctamente.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la ecuación de Young-Laplace?

P: ¿Con qué se relaciona?

P: ¿Quién desarrolló esta teoría?

P: ¿Cómo se utiliza en fisiología?

P: ¿Qué fenómeno explica?

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