La raíz cuadrada de 2, o la (1/2)ª potencia de 2, escrita en matemáticas como √2 o 2​1⁄2, es el número irracional positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número 2. Para ser más precisos se suele hablar de la raíz cuadrada principal de 2 para distinguirla de su contraparte negativa (−√2), que también satisface la misma igualdad al elevarla al cuadrado.

Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden uno; esto se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: la diagonal d cumple d = √(1² + 1²) = √2.

Propiedades importantes

  • Ecuación característica: √2 es la solución positiva de la ecuación x² = 2. Su polinomio mínimo sobre los racionales es x² − 2.
  • Irracionalidad: √2 no puede expresarse como cociente de dos enteros. Una demostración clásica por contradicción: si √2 = p/q con p, q enteros coprimos, entonces p² = 2q² implica que p² es par, así p es par; escribiendo p = 2k se obtiene q² = 2k², luego q también es par, contradicción con que p y q fueran coprimos. Por tanto √2 es irracional.
  • Decimal y aproximación: su desarrollo decimal comienza 1.4142135623730950488… y no es periódico; una aproximación práctica es 1.41421356. También existen fracciones aproximadas útiles, p. ej. 99/70 ≈ 1.4142857.
  • Fracción continua: su fracción continua es periódica e idéntica a [1; 2, 2, 2, …], lo que caracteriza a las raíces cuadradas de enteros no cuadrados como números cuadráticos. Las convergentes producen buenas aproximaciones racionales relacionadas con las soluciones de la ecuación de Pell.
  • Campo y conjugado: √2 es un número algebraico de grado 2 y elemento del cuerpo Q(√2). Su conjugado algebraico es −√2. El polinomio mínimo x² − 2 muestra que √2 es una unidad algebraica en el sentido de ente algebraico (más precisamente es una unidad en el anillo de enteros de Q(√2) porque su inverso es √2/2).
  • Relación con Pell: las fracciones continuas y las aproximaciones racionales a √2 están estrechamente ligadas a la ecuación de Pell x² − 2y² = ±1; las soluciones enteras (x,y) proceden de las potencias de 1 + √2 en Z[√2].

Demostración geométrica simple

Considera un cuadrado de lado 1. Por el teorema de Pitágoras, si se toma el triángulo rectángulo formado por dos lados adyacentes y la diagonal, la longitud de la diagonal d satisface d² = 1² + 1² = 2, luego d = √2. Esta interpretación hace evidente la presencia de √2 en problemas que involucran diagonales, hipotenusas y simetrías cuadradas.

Cálculo numérico

Para calcular √2 con métodos numéricos se puede emplear, por ejemplo, el método de Newton (método de la tangente) aplicado a f(x) = x² − 2. Iteración: x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2. Partiendo de x₀ = 1 se obtiene x₁ = 1.5, x₂ ≈ 1.4166667, x₃ ≈ 1.4142157, convergiendo rápidamente a √2.

Aplicaciones y apariciones

  • En geometría, aparece en longitudes de diagonales y en construcciones con cuadrados y rombos.
  • En diseño y papelería, la serie ISO de tamaños de papel (p. ej. A4) utiliza la proporción 1:√2 para que al cortar una hoja por la mitad se conserve la misma relación de aspecto.
  • En teoría de números y álgebra, √2 es un ejemplo fundamental de número cuadrático, con papel en el estudio de unidades, factorización en anillos de enteros y en la resolución de la ecuación de Pell.

En resumen, √2 es un número fundamental en matemáticas: simple de definir, con propiedades algebraicas profundas (irracionalidad, polinomio mínimo x² − 2, fracción continua periódica) y con numerosas aplicaciones geométricas y prácticas.