Raíz cuadrada de dos
La raíz cuadrada de 2, o la (1/2)ª potencia de 2, escrita en matemáticas como √2 o 21⁄2 , es el número irracional positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número 2. Para ser más correctos, se denomina raíz cuadrada principal de 2, para distinguirla de la versión negativa de sí mismo, en la que también es cierto.
Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de una diagonal que atraviesa un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de uno; esto se puede encontrar con el teorema de Pitágoras.
La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1
Prueba de que la raíz cuadrada de 2 no es racional
El número 2 {desde el punto de vista del estilo {sqrt {2}}
no es racional. Aquí está la prueba.
- Supongamos que 2 {estilo de la pantalla {cuadrado {2}} es racional. Así que hay algunos números a , b {\displaystyle a,b}
tales que a / b = 2 {\displaystyle a/b={cuadrado {2}} 
. - Podemos elegir a y b de forma que a o b sean impares. Si a y b fueran ambos pares, entonces la fracción podría simplificarse (por ejemplo, en lugar de escribir 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}
podríamos escribir 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}
). - Si ambos lados de la ecuación se elevan al cuadrado, entonces obtenemos a 2/ b 2= 2 y a 2= 2 b 2.
- El lado derecho es 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Este número es par. Así que el lado izquierdo debe ser par también. Por lo tanto, a 2 {displaystyle a^{2}}
es par. Si un número impar se eleva al cuadrado, entonces un número impar será el resultado. Y si se eleva al cuadrado un número par, el resultado será también un número par. Por lo tanto, a {designa a} es par
. - Como a es par, se puede escribir como: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Se utiliza la ecuación del paso 3. Obtenemos 2b 2= (2k) 2
- Se puede utilizar una regla de exponenciación (ver el artículo) - el resultado es 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - Ambos lados se dividen por 2. Así que b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}.
. Esto significa que b {\displaystyle b} 
es par. - En el paso 2, dijimos que a es impar o b es impar. Pero en el paso 4, se dijo que a es par, y en el paso 7, se dijo que b es par. Si la suposición que hicimos en el paso 1 es cierta, entonces todas estas otras cosas tienen que ser ciertas, pero como no están de acuerdo entre sí no pueden ser todas ciertas; eso significa que nuestra suposición no es cierta.
No es cierto que 2 {estilo de visualización {cuadrado {2}} sea un número racional. Por lo tanto, 2 es irracional.
