Distribución Fermi-Dirac: definición y aplicaciones en fermiones y electrones

Distribución Fermi-Dirac: definición clara del principio de exclusión y aplicaciones en fermiones y electrones para comprender la conductividad y propiedades cuánticas de materiales.

La estadística Fermi–Dirac es una rama de la estadística cuántica que describe el comportamiento colectivo de muchas partículas indistinguibles que obedecen el principio de exclusión de Pauli. Lleva el nombre de Enrico Fermi y Paul Dirac. Se aplica, por ejemplo, a la descripción del estado de los electrones en metales y semimetales, y es fundamental para entender la conductividad eléctrica, la capacidad calorífica electrónica y muchas otras propiedades de la materia a escala microscópica.

Supuestos básicos

• Ningún estado cuántico puede contener más de una partícula idéntica (principio de exclusión de Pauli, véase).
• Las partículas son idénticas: permutar dos partículas no conduce a un nuevo estado físico observable.
• Las partículas descritas por esta estadística son fermiones (spin semientero), como los electrones, protones o neutrones).

Definición y fórmula

La distribución de Fermi da la probabilidad de ocupación de un nivel de energía E a temperatura T y potencial químico μ (también llamado nivel de Fermi a T=0). Su expresión es

f(E) = 1 / (exp[(E − μ)/(k_B T)] + 1),

donde k_B es la constante de Boltzmann. Esta función varía entre 0 y 1: en el límite de baja temperatura (T → 0) se convierte en una función escalón, con todos los estados por debajo de la energía de Fermi ocupados (f = 1) y los estados por encima vacíos (f = 0). A temperaturas finitas la transición se suaviza y hay una probabilidad finita de ocupación o vacío alrededor de μ.

Conceptos relacionados

• Energía de Fermi (E_F): es la energía máxima ocupada por fermiones a T = 0; para un gas libre de electrones tridimensional, E_F depende de la densidad n según E_F = (ħ²/2m)(3π² n)^(2/3).
• Potencial químico (μ): en general depende de T y de la densidad; a T = 0 coincide con E_F.
• Densidad de estados: la ocupación total y propiedades termodinámicas se obtienen integrando f(E) multiplicada por la densidad de estados apropiada.

Propiedades y consecuencias físicas

• La presencia del principio de exclusión limita las excitaciones disponibles cerca de la superficie de Fermi; por eso las contribuciones electrónicas a la capacidad calorífica a bajas temperaturas son pequeñas y lineales en T: C_e ∝ T. Para un gas libre de electrones es posible aproximar C_e ≈ (π²/2) N k_B (k_B T / E_F), donde N es el número de electrones.
• La conductividad eléctrica, la termoelectricidad y muchas respuestas lineales dependen fuertemente de la estructura de la densidad de estados y de la distribución de Fermi alrededor de μ.
• La degeneración de fermiones a densidades altas o temperaturas bajas genera presiones de degeneración importantes en astrofísica (por ejemplo, en enanas blancas y estrellas de neutrones), que no dependen de la temperatura en el régimen degenerado.

Derivación y ámbito de validez

La distribución de Fermi–Dirac se obtiene de un tratamiento estadístico (por ejemplo el ensamble canónico/grand-canonical) incorporando la imposibilidad de ocupar un mismo estado por más de una partícula y el hecho de que las partículas son indistinguibles. Es la estadística adecuada cuando la ocupación promedio por estado no es mucho menor que 1, es decir, en condiciones de alta densidad y/o baja temperatura. En el límite clásico (ocupaciones ≪ 1) la distribución de Fermi–Dirac reduce a la distribución de Maxwell–Boltzmann.

Comparación con otras estadísticas

• Bose–Einstein: aplica a bosones (spin entero) que pueden ocupar el mismo estado en número arbitrario; produce fenómenos como la condensación de Bose.
• Maxwell–Boltzmann: estadística clásica válida cuando los efectos de indistinguibilidad y el principio de exclusión son despreciables (altas temperaturas y bajas densidades).

Aplicaciones destacadas

• Electrónica de metales y semiconductores: cálculo de la conductividad, la densidad de portadores y la respuesta térmica.
• Física de materiales: fenómenos en semimetales, metales de transición y materiales con fermiones de Dirac (por ejemplo, grafeno), donde la forma de la dispersión modifica las propiedades alrededor del nivel de Fermi.
• Astrofísica: presión de degeneración en enanas blancas y estrellas de neutrones.
• Física de bajas temperaturas y gases ultrafríos: experimentos con átomos fermiónicos atrapados utilizan la estadística Fermi–Dirac para describir la ocupación de modos cuánticos.
• Nanotecnología y dispositivos cuánticos: distribución de ocupación en puntos cuánticos, pozos de potencial y conductores a escala nanométrica.

Ejemplo cualitativo

En un metal típico a temperatura ambiente la energía térmica k_B T es mucho menor que E_F, por lo que solo los electrones en una estrecha ventana energética alrededor de μ contribuyen a la conducción y a la capacidad calorífica electrónica. Esto explica por qué la mayoría de electrones permanecen "inertes" respecto a la conducción y por qué las propiedades electrónicas a bajas temperaturas son dominadas por excitaciones cercanas a la superficie de Fermi.

En resumen, la distribución Fermi–Dirac es la herramienta central para describir sistemas de fermiones en la física de la materia condensada, la astrofísica y la física atómica/mesoscópica, y permite conectar propiedades microscópicas (niveles y densidad de estados) con observables macroscópicos como la conductividad y la capacidad calorífica.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la estadística de Fermi-Dirac?

P: ¿A quién debe su nombre la estadística de Fermi-Dirac?

P: ¿Cuál es un ejemplo de un sistema que puede describirse utilizando la estadística de Fermi-Dirac?

P: ¿Qué suposiciones se hacen en la estadística de Fermi-Dirac?

P: ¿Qué nos dice la distribución de Fermi?

P: ¿Cuál es otro nombre del principio de exclusión de Pauli?

P: ¿Qué es un gas de Fermi?

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