Ley general de los gases (ley combinada)

La Ley de Boyle establece que el producto presión-volumen es constante:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

La Ley de Charles muestra que el volumen es proporcional a la temperatura absoluta:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

La ley de Gay-Lussac dice que la presión es proporcional a la temperatura absoluta:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

donde P es la presión, V el volumen y T la temperatura absoluta de un gas ideal.

Combinando (1) y cualquiera de (2) o (3), podemos obtener una nueva ecuación con P, V y T. Si dividimos la ecuación (1) por la temperatura y multiplicamos la ecuación (2) por la presión obtendremos:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Como el lado izquierdo de ambas ecuaciones es el mismo, llegamos a

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}=k_{2}(P)P} ,

lo que significa que

P V T = constante {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={textrm {constante}} .

Sustituyendo la Ley de Avogadro se obtiene la ecuación del gas ideal.

Una derivación de la ley combinada de los gases utilizando sólo álgebra elemental puede contener sorpresas. Por ejemplo, partiendo de las tres leyes empíricas

P = k V T {{displaystyle P=k_{V}},T{{{\i}}           (1) Ley de Gay-Lussac, el volumen se supone constante

V = k P T {{displaystyle V=k_{P}T,}}           (2) Ley de Charles, la presión se supone constante

P V = k T {{displaystyle PV=k_{T}}, |}           (3) Ley de Boyle, la temperatura se supone constante

donde k_V , k_P , y k_T son las constantes, se pueden multiplicar las tres juntas para obtener

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}{,\}}

Tomar la raíz cuadrada de ambos lados y dividir por T parece producir del resultado deseado

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={{sqrt} {k_{P}k_{V}}},\frac}

Sin embargo, si antes de aplicar el procedimiento anterior, uno simplemente reordena los términos de la Ley de Boyle, k_T = PV, entonces después de cancelar y reordenar, se obtiene

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}=T^{2},¡!

lo que no es muy útil, si no engañoso.

Una derivación física, más larga pero más fiable, empieza por darse cuenta de que el parámetro del volumen constante en la ley de Gay-Lussac cambiará cuando cambie el volumen del sistema. A volumen constante, V₁ la ley podría aparecer P = k₁ T, mientras que a volumen constante V₂ podría aparecer P = k₂ T. Denotando este "volumen constante variable" por k_V (V), reescriba la ley como

¡P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\N-,T,\N-!}           (4)

La misma consideración se aplica a la constante de la ley de Charles, que puede reescribirse

¡V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\N-,T,\N-!}           (5)

Al tratar de encontrar k_V (V), no se debe eliminar irremediablemente T entre (4) y (5), ya que P es variable en la primera mientras que se supone constante en la segunda. Más bien, habría que determinar primero en qué sentido estas ecuaciones son compatibles entre sí. Para comprenderlo, recordemos que dos variables cualesquiera determinan la tercera. Si elegimos que P y V son independientes, nos imaginamos los valores de T formando una superficie sobre el plano PV. Un V definido₀ y un P₀ definen un T₀ , un punto en esa superficie. Sustituyendo estos valores en (4) y (5), y reordenando se obtiene

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) y T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})} {cuadrado y T_{0}={frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}.

Dado que ambas describen lo que ocurre en el mismo punto de la superficie, las dos expresiones numéricas pueden equipararse y reordenarse

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={\frac {P_{0}}{V_{0}},\}           (6)

Tenga en cuenta que

1/k_V (V₀ ) y 1/k_P (P₀ ) son las pendientes de las líneas ortogonales paralelas al eje P/eje V y que pasan por ese punto de la superficie sobre el plano PV. La relación de las pendientes de estas dos líneas depende únicamente del valor de P₀ /V₀ en ese punto.

Obsérvese que la forma funcional de (6) no depende del punto concreto elegido. La misma fórmula habría surgido para cualquier otra combinación de valores P y V. Por lo tanto, se puede escribir

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}cuadrado \frac para todo P,\frac para todo V} (7)

Esto dice que cada punto de la superficie tiene su propio par de líneas ortogonales que lo atraviesan, con su relación de pendiente que depende sólo de ese punto. Mientras que (6) es una relación entre las pendientes específicas y los valores de las variables, (7) es una relación entre las funciones de las pendientes y las variables de las funciones. Es válida para cualquier punto de la superficie, es decir, para todas y cada una de las combinaciones de valores P y V. Para resolver esta ecuación para la función k_V (V), primero hay que separar las variables, V a la izquierda y P a la derecha.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V,k_{V}(V)=P\{P}(P)}

Elija cualquier presión P₁ . El lado derecho se evalúa a algún valor arbitrario, llámelo k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V,k_{V}(V)=k_{texto{arb}},¡!           (8)

Esta ecuación particular debe ser ahora verdadera, no sólo para un valor de V, sino para todos los valores de V. La única definición de k_V (V) que garantiza esto para todo V y k arbitrario_arb es

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={frac {k_{text{arb}}{V}} (9)

lo que puede verificarse por sustitución en (8).

Finalmente, sustituyendo (9) en la ley de Gay-Lussac (4) y reordenando se obtiene la ley de los gases combinados

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{text{arb}},\frac}

Observe que, aunque la ley de Boyle no se utilizó en esta derivación, se deduce fácilmente del resultado. Generalmente, dos de las tres leyes de partida son todo lo que se necesita en este tipo de derivación - todos los pares de partida conducen a la misma ley de los gases combinada.

La ley de los gases combinados puede utilizarse para explicar la mecánica en la que se ven afectadas la presión, la temperatura y el volumen. Por ejemplo: los acondicionadores de aire, los frigoríficos y la formación de nubes, y también se utiliza en la mecánica de fluidos y la termodinámica.

• La ley de Dalton