Transformada wavelet: definición, tipos (continua, discreta) y aplicaciones

Transformada wavelet: definición clara, tipos (continua y discreta) y aplicaciones prácticas en reducción de ruido, compresión y análisis de señales. Guía esencial y ejemplos.

Autor: Leandro Alegsa

25-01-2026 14:57

La transformada wavelet es una representación tiempo-frecuencia de una señal. La utilizamos, por ejemplo, para reducir el ruido, extraer características o comprimir señales.

La transformada Wavelet de la señal continua se define como

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](a,b)= {{frac {1}{cuadrado {a}}int _{-\infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}left({{frac {t-b}{a}}right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

donde

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ es la llamada ondícula madre,
a {\displaystyle a} denota la dilatación de la ondícula,
b {\displaystyle b} $b$ denota el desplazamiento temporal de la ondícula y
$*$ El símbolo ∗ denota el complejo conjugado.

En el caso de a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ y b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ donde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0} $T>0$ y m {\displaystyle m} y k {\displaystyle k} son constantes enteras, la transformada wavelet se llama transformada wavelet discreta (de señal continua).

En el caso de a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ y b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ donde m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ la transformada wavelet discreta se denomina diádica. Se define como

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](m,k)={frac {1}{sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}{left(2^{-m}t-kT\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

donde

m es la escala de frecuencia,
k {\displaystyle k} es la escala de tiempo y
T {\displaystyle T} $T$ es una constante que depende de la ondícula madre.

Es posible reescribir la transformada wavelet discreta diádica como

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](m,k)=int _{-\infty }^{infty }{f(t)h_{m}left(2^{m}kT-t\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

donde h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ es la característica de impulso del filtro continuo que es idéntica a ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}^{*} ${\psi _{m}}^{*}$ para un m dado {displaystyle m} .

Análogamente, la transformada wavelet diádica con tiempo discreto (de señal discreta) se define como

Transformada wavelet discreta (señal discreta) y banco de filtros

Para señales discretas x[n] la transformada wavelet diádica se implementa normalmente mediante un banco de filtros (algoritmo de Mallat). En cada nivel de descomposición se aplican dos filtros finitos:

Filtro de aproximación h[n] (también llamado filtro de escala o low-pass).
Filtro de detalle g[n] (high-pass), normalmente g[n] = (−1)^{n} h[1−n] en filtros ortogonales.

Las ecuaciones de descomposición (submuestreo por 2) son

a_{j+1}[k] = Σ_{n} h[n − 2k] · a_{j}[n], d_{j+1}[k] = Σ_{n} g[n − 2k] · a_{j}[n]

donde a_{0}[n] = x[n]. Aquí a_{j} son los coeficientes de aproximación y d_{j} los coeficientes de detalle en el nivel j. La reconstrucción inversa combina estos coeficientes usando filtros síntesis (h̃, g̃) y sobremuestreo (upsampling):

a_{j}[n] = Σ_{k} ( h̃[n − 2k] · a_{j+1}[k] + g̃[n − 2k] · d_{j+1}[k] ).

Si los filtros cumplen las condiciones de reconstrucción perfecta (perfect reconstruction), la señal original se recupera exactamente (en ausencia de cuantización/recortes). Este procedimiento da lugar a la llamada Transformada Wavelet Discreta (DWT), con complejidad computacional O(N).

Propiedades y condiciones importantes

Admisibilidad: para la CWT la ondícula ψ debe cumplir la condición de admisibilidad Cψ = ∫_{0}^{∞} |Ψ(ω)|^{2}/ω dω < ∞, lo que implica que ∫ ψ(t) dt = 0 (media nula).
Redundancia: la CWT es redundante (representación continua en escala y tiempo). La DWT puede diseñarse para ser no redundante (submuestreo crítico) o redundante (algoritmos como la wavelet estacionaria).
Análisis multirresolución (MRA): la DWT se fundamenta en la MRA, que define espacios de aproximación V_j generados por una función de escala φ(t) y subespacios de detalle W_j generados por ψ(t).
Localización tiempo-frecuencia: las wavelets localizan bien transitorios y estructuras locales (mejor que la transformada de Fourier para señales no estacionarias).

Ondículas y familias populares

La elección de la ondícula madre ψ afecta la compacidad, regularidad y fase de la transformada. Algunas familias comunes:

Haar: la más simple (función escalón). Buena para discontinuidades, poco regular.
Daubechies (dbN): compactas y ortogonales con mayor regularidad a medida que N crece. Muy usadas en compresión.
Symlets: variantes de Daubechies con mejor simetría.
Coiflets: diseñadas para tener momentos nulos adicionales (útiles en estimación de polinomios locales).
Morlet: wavelet compleja, útil en análisis tiempo-frecuencia continuo.
Mexican hat (Ricker): segunda derivada de una gaussiana, útil en detección de picos.
Biortogonales: ofrecen filtros de análisis/síntesis con fase lineal (útil en procesamiento de imágenes).

Transformada inversa y síntesis

Para la CWT existe una fórmula inversa (si Cψ < ∞) que permite reconstruir f(t) a partir de los coeficientes Wψf(a,b):

f(t) = (1/Cψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} Wψf(a,b) · ψ_{a,b}(t) · (db da / a^{2})

En DWT la reconstrucción se realiza por los filtros síntesis del banco de filtros, como se ha mostrado antes, con condiciones de perfect reconstruction.

Aplicaciones prácticas

Eliminación de ruido (denoising): descomponer la señal, aplicar umbralización (hard o soft) a coeficientes de detalle y reconstruir. Método robusto para ruido aditivo gaussiano.
Compresión de señales e imágenes: JPEG 2000 usa wavelets (compresión de imágenes con mejor preservación de bordes que DCT).
Detección de picos y eventos transitorios: análisis de ECG, sismología, vibraciones mecánicas.
Extracción de características: clasificación y reconocimiento (voz, patrones biomédicos, análisis de fallos).
Filtrado multiescala y fusión de imágenes: combinar información a distintas escalas.
Procesamiento de audio y compresión: modelado de señales audio con resoluciones adaptativas en frecuencia.
Watermarking y análisis forense: inserción y detección de marcas en dominios wavelet.

Consejos prácticos y consideraciones

Elección de ondícula: seleccionar según la propiedad de la señal (discontinuidades → Haar/Daubechies pequeñas; señales suaves → wavelets más regulares).
Nivel de descomposición: depende de la longitud de la señal y la resolución temporal/frecuencial necesaria.
Manejo de bordes: bordes periódicos, simétricos, relleno con ceros o reflectado; la elección influye en artefactos en los extremos.
Umbralización en denoising: métodos como umbral universal σ√(2 log N), SURE, o umbrales adaptativos por subbanda.
Implementaciones: bibliotecas comunes: PyWavelets (Python), MATLAB Wavelet Toolbox, libwavelet, implementaciones en C/C++ y FPGA para tiempo real.

Ventajas y limitaciones

Ventajas: buena localización tiempo-frecuencia, multirresolución, eficiencia computacional (DWT), útil para señales no estacionarias.
Limitaciones: elección de ondícula no universal, posible redundancia en CWT, artefactos de borde y sensibilidad a parámetros (nivel, umbral).

Resumen

La transformada wavelet proporciona una herramienta flexible para analizar señales en distintas escalas y tiempos. La CWT ofrece una representación continua y redundante, apropiada para análisis detallados; la DWT (y su versión diádica) permite implementaciones eficientes mediante bancos de filtros y sirve en aplicaciones prácticas como compresión y eliminación de ruido. La elección de la ondícula, el nivel de descomposición y el manejo de bordes son decisiones clave para obtener buenos resultados en la práctica.

Transformación wavelet continua de la señal de ruptura de frecuencia. Se utiliza un symlet con 5 momentos de fuga.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la transformada wavelet?

R: La transformada de ondícula es una representación de tiempo-frecuencia de una señal que se utiliza para la reducción de ruido, la extracción de características o la compresión de señales.

P: ¿Cómo se define la transformada wavelet de señales continuas?

R: La transformada wavelet de señales continuas se define como una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por una wavelet madre, donde los parámetros 'a' y 'b' denotan la dilatación y el desplazamiento temporal respectivamente.

P: ¿Qué son las transformadas wavelet discretas diádicas?

R: Las transformadas wavelet discretas diádicas son versiones discretas de las transformadas wavelet discretas regulares con escala de frecuencia 'm', escala de tiempo 'k' y constante 'T'. Se pueden reescribir como una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por un filtro impulsivo característico que es idéntico a la ondícula madre para un m dado.

P: ¿A qué se refiere "ondícula madre" en este contexto?

R: En este contexto, "ondícula madre" se refiere a funciones que se utilizan junto con otras funciones para formar la base del cálculo de un tipo concreto de transformación (en este caso, la transformada de ondícula).

P: ¿Cómo se calculan las ondículas discretas diádicas?

R: Las ondículas discretas diádicas se calculan utilizando una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por un filtro impulsivo característico que es idéntico a la ondícula madre para un m dado. Además, requieren como parámetros la escala de frecuencia m, la escala de tiempo k y la constante T.

P: ¿Qué representan "a" y "b" al definir las ondículas continuas?

R: Al definir Wavelets continuas, 'a' representa la dilatación mientras que 'b' representa el desplazamiento temporal.

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