Transformada ondícula

La transformada wavelet es una representación tiempo-frecuencia de una señal. La utilizamos, por ejemplo, para reducir el ruido, extraer características o comprimir señales.

La transformada Wavelet de la señal continua se define como

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](a,b)= {{frac {1}{cuadrado {a}}int _{-\infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}left({{frac {t-b}{a}}right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

donde

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ es la llamada ondícula madre,
a {\displaystyle a} denota la dilatación de la ondícula,
b {\displaystyle b} $b$ denota el desplazamiento temporal de la ondícula y
$*$ El símbolo ∗ denota el complejo conjugado.

En el caso de a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ y b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ donde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0} $T>0$ y m {\displaystyle m} y k {\displaystyle k} son constantes enteras, la transformada wavelet se llama transformada wavelet discreta (de señal continua).

En el caso de a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ y b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ donde m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ la transformada wavelet discreta se denomina diádica. Se define como

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](m,k)={frac {1}{sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}{left(2^{-m}t-kT\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

donde

m es la escala de frecuencia,
k {\displaystyle k} es la escala de tiempo y
T {\displaystyle T} $T$ es una constante que depende de la ondícula madre.

Es posible reescribir la transformada wavelet discreta diádica como

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{psi }f\right](m,k)=int _{-\infty }^{infty }{f(t)h_{m}left(2^{m}kT-t\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

donde h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ es la característica de impulso del filtro continuo que es idéntica a ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}^{*} ${\psi _{m}}^{*}$ para un m dado {displaystyle m} .

Análogamente, la transformada wavelet diádica con tiempo discreto (de señal discreta) se define como

Transformación wavelet continua de la señal de ruptura de frecuencia. Se utiliza un symlet con 5 momentos de fuga.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la transformada wavelet?

R: La transformada de ondícula es una representación de tiempo-frecuencia de una señal que se utiliza para la reducción de ruido, la extracción de características o la compresión de señales.

P: ¿Cómo se define la transformada wavelet de señales continuas?

R: La transformada wavelet de señales continuas se define como una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por una wavelet madre, donde los parámetros 'a' y 'b' denotan la dilatación y el desplazamiento temporal respectivamente.

P: ¿Qué son las transformadas wavelet discretas diádicas?

R: Las transformadas wavelet discretas diádicas son versiones discretas de las transformadas wavelet discretas regulares con escala de frecuencia 'm', escala de tiempo 'k' y constante 'T'. Se pueden reescribir como una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por un filtro impulsivo característico que es idéntico a la ondícula madre para un m dado.

P: ¿A qué se refiere "ondícula madre" en este contexto?

R: En este contexto, "ondícula madre" se refiere a funciones que se utilizan junto con otras funciones para formar la base del cálculo de un tipo concreto de transformación (en este caso, la transformada de ondícula).

P: ¿Cómo se calculan las ondículas discretas diádicas?

R: Las ondículas discretas diádicas se calculan utilizando una integral sobre todos los valores de una función multiplicada por un filtro impulsivo característico que es idéntico a la ondícula madre para un m dado. Además, requieren como parámetros la escala de frecuencia m, la escala de tiempo k y la constante T.

P: ¿Qué representan "a" y "b" al definir las ondículas continuas?

R: Al definir Wavelets continuas, 'a' representa la dilatación mientras que 'b' representa el desplazamiento temporal.