Círculo unitario: definición, propiedades y usos en trigonometría

Círculo unitario: definición clara, propiedades esenciales y aplicaciones en trigonometría. Aprende su ecuación, funciones trigonométricas, ángulos y ejemplos prácticos paso a paso.

Autor: Leandro Alegsa

17-02-2026 21:58

En matemáticas, un círculo unitario es un círculo con un radio de 1. La ecuación del círculo unitario es x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} $x^{2}+y^{2}=1$ . El círculo unitario está centrado en el Origen, o coordenadas (0,0). Se utiliza a menudo en Trigonometría.

Ecuación y parametrización

La ecuación cartesiana x² + y² = 1 describe todos los puntos (x,y) cuya distancia al origen es 1. Una parametrización muy usada es

x = cos θ
y = sin θ

donde θ es el ángulo medido usualmente en radianes desde el eje positivo de las x. Al variar θ de 0 a 2π se recorre todo el círculo unitario en sentido contrario a las agujas del reloj.

Propiedades principales

Identidad pitagórica: para todo θ, cos²θ + sin²θ = 1. Esta es la expresión trigonométrica de la ecuación del círculo unitario.
Signos por cuadrantes: en el primer cuadrante (0,π/2) ambas coordenadas son positivas; en el segundo (π/2,π) x es negativo y y positivo; en el tercero (π,3π/2) ambas son negativas; en el cuarto (3π/2,2π) x positivo y y negativo. Esto determina el signo de las funciones seno y coseno.
Simetrías: cos(−θ) = cos θ (función par) y sin(−θ) = −sin θ (función impar). Además, cos(π − θ) = −cos θ y sin(π − θ) = sin θ, etc., que se interpretan geométricamente en el círculo.
Período: las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π: cos(θ + 2π) = cos θ, sin(θ + 2π) = sin θ.
Derivadas: como funciones de θ, d/dθ[cos θ] = −sin θ y d/dθ[sin θ] = cos θ, lo que se visualiza en el movimiento alrededor del círculo.
Rotaciones: la matriz de rotación en el plano se expresa con cos y sin: R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]. Aplicar R(θ) a un vector unitario rota ese vector en el ángulo θ.
Relación con los números complejos: la fórmula de Euler e^{iθ} = cos θ + i sin θ sitúa el círculo unitario como el conjunto de números complejos de módulo 1.

Valores trigonométricos comunes

Algunos puntos importantes del círculo unitario y sus coordenadas (cos θ, sin θ):

θ = 0 (0°): (1, 0)
θ = π/6 (30°): (√3/2, 1/2)
θ = π/4 (45°): (√2/2, √2/2)
θ = π/3 (60°): (1/2, √3/2)
θ = π/2 (90°): (0, 1)
θ = π (180°): (−1, 0)
θ = 3π/2 (270°): (0, −1)
θ = 2π (360°): (1, 0)

Usos en trigonometría y otras ramas

Definición de funciones trigonométricas: el círculo unitario permite definir seno y coseno de un modo geométrico para todos los ángulos reales, extendiendo las definiciones basadas en triángulos rectángulos.
Resolución de ecuaciones trigonométricas: muchas identidades y soluciones se visualizan y resuelven trazando puntos y ángulos en el círculo unitario.
Transformaciones y rotaciones: en geometría analítica y en física, el círculo unitario describe rotaciones y orientación; en electrónica se usa para representar fasores y señales periódicas.
Vectores y producto escalar: en coordenadas unitarias, el coseno del ángulo entre dos vectores se obtiene directamente como su producto escalar: u·v = cos θ cuando ambos son unitarios.
Análisis de señales y series de Fourier: la representación en el círculo unitario y la fórmula de Euler son fundamentales para descomponer funciones periódicas en senos y cosenos o exponenciales complejas.
Coordenadas polares: el paso entre coordenadas cartesianas y polares usa (r cos θ, r sin θ); con r = 1 las coordenadas coinciden con el círculo unitario.

Ejemplo práctico

Para resolver cos θ = 1/2 en [0,2π), se buscan puntos en el círculo con coordenada x = 1/2. Estos corresponden a θ = π/3 y θ = 5π/3, es decir, dos puntos simétricos respecto al eje x.

Conclusión: el círculo unitario es una herramienta central en trigonometría que unifica definiciones geométricas, algebraicas y complejas de las funciones trigonométricas y facilita el estudio de simetrías, periodos, rotaciones y aplicaciones prácticas en física e ingeniería.

La circunferencia unitaria puede utilizarse para modelar cualquier función trigonométrica.

Funciones trigonométricas en el círculo unitario

En una circunferencia unitaria, donde t {\displaystyle t} $t$ es el ángulo deseado, x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} pueden definirse como cos ( t ) = x {\displaystyle \cos(t)=x} $\cos(t)=x$ y sin ( t ) = y {\displaystyle \sin(t)=y} $\sin(t)=y$ . Utilizando la función del círculo unitario, x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} $x^{2}+y^{2}=1$ se encuentra otra ecuación para el círculo unitario, cos 2 ( t ) + sin 2 ( t ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1} $\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1$ . Cuando se trabaja con funciones trigonométricas, es principalmente útil utilizar ángulos con medidas entre 0 y π 2 {\displaystyle \pi \over 2} $\pi \over 2$ radianes, o sea de 0 a 90 grados. Sin embargo, es posible tener ángulos mayores que eso. Usando el círculo unitario, se pueden encontrar dos identidades: cos ( t ) = cos ( 2 ⋅ π k + t ) {\displaystyle \cos(t)=\cos(2\cdot \pi k+t)} $\cos(t)=\cos(2\cdot \pi k+t)$ y s i n ( t ) = sin ( 2 ⋅ π k + t ) {\displaystyle sin(t)=\sin(2\cdot \pi k+t)} $sin(t)=\sin(2\cdot \pi k+t)$ para cualquier número entero k {\displaystyle k} .