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Teorema de Bayes: principio, fórmula y aplicaciones

Explicación del teorema de Bayes: fórmula, términos (prior, verosimilitud, evidencia, posterior), breve historia y aplicaciones prácticas en medicina, filtrado y aprendizaje automático.

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Resumen y definición

El teorema de Bayes describe cómo actualizar la probabilidad de una hipótesis a la luz de nueva información. Establece una relación entre la probabilidad condicional de un suceso dado otro y su inversa, permitiendo calcular la probabilidad de una hipótesis H dado un dato D a partir de la probabilidad de observar D si H fuera cierta.

Fórmula y componentes

En forma simbólica se expresa como: P(H|D) = P(D|H) · P(H) / P(D). Sus componentes principales son:

  • Prior (P(H)): probabilidad inicial asignada a la hipótesis antes de ver el dato.
  • Verosimilitud (P(D|H)): probabilidad de observar el dato si la hipótesis es verdadera.
  • Evidencia o probabilidad marginal (P(D)): probabilidad total de observar el dato bajo todas las hipótesis posibles.
  • Posterior (P(H|D)): probabilidad actualizada de la hipótesis tras incorporar el dato.

Derivación elemental

La fórmula se obtiene de la definición básica de probabilidad condicional: P(H|D) = P(H y D)/P(D) y, por otra parte, P(H y D) = P(D|H)·P(H). Sustituyendo y dividiendo por P(D) aparece la expresión de Bayes. Para calcular P(D) a menudo se emplea la ley de la probabilidad total, sumando las contribuciones de todas las hipótesis relevantes.

Breve historia

Recibe su nombre de Thomas Bayes, quien en el siglo XVIII trabajó en fundamentos de probabilidad. Sus ideas fueron desarrolladas posteriormente por matemáticos como Pierre-Simon Laplace, que extendieron y aplicaron el enfoque. Hoy se le conoce también como ley o regla de Bayes.

Usos y ejemplos prácticos

El teorema de Bayes es fundamental en numerosas áreas. En medicina ayuda a interpretar pruebas diagnósticas: la probabilidad de enfermedad tras un resultado positivo depende tanto de la precisión del test como de la prevalencia previa. En filtrado de correo, modelos bayesianos combinan evidencias de palabras para estimar si un mensaje es spam. En aprendizaje automático y estadística bayesiana se emplea para estimar parámetros y actualizar creencias; técnicas numéricas como muestreo por cadenas de Markov suelen usarse cuando los cálculos analíticos son complejos.

Distinciones y observaciones

Una distinción relevante es la entre enfoques bayesiano y frecuentista: el primero trata probabilidades como grados de creencia y usa priors, mientras que el segundo se centra en propiedades de procedimientos repetidos. La elección del prior puede influir en el resultado, por lo que existen criterios y prácticas para seleccionar priors informativos o no informativos según el contexto.

Para ampliar conceptos relacionados con la teoría de la probabilidad consulte probabilidad y para entender mejor el papel de las hipótesis en inferencia visite hipótesis.

Fórmula

La ecuación utilizada es:

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Dónde:

  • P(A) es la probabilidad a priori o probabilidad marginal de A. Es "a priori" en el sentido de que no tiene en cuenta ninguna información sobre B.
  • P(A|B) es la probabilidad condicional de A, dado B. También se llama probabilidad posterior porque se deriva de (o depende de) el valor especificado de B.
  • P(B|A) es la probabilidad condicional de B dada A. También se llama probabilidad.
  • P(B) es la probabilidad previa o marginal de B, y actúa como una constante de normalización.

En muchos escenarios, la P(B) se calcula indirectamente mediante la fórmula {\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})}, que simplemente afirma que la probabilidad de B es la suma de las probabilidades condicionales en función de si A ha ocurrido o no.


 

Ejemplo

Un ejemplo sencillo es el siguiente: Hay un 40% de posibilidades de que llueva el domingo. Si llueve el domingo, hay un 10% de posibilidades de que llueva el lunes. Si no llueve el domingo, hay un 80% de posibilidades de que llueva el lunes.

"Lloviendo el domingo" es el evento A, y "Lloviendo el lunes" es el evento B.

  • P( A ) = 0,40 = Probabilidad de que llueva el domingo.
  • P( A` ) = 0,60 = Probabilidad de que no llueva el domingo.
  • P( B | A ) = 0,10 = Probabilidad de que llueva el lunes, si llovió el domingo.
  • P( B` | A ) = 0,90 = Probabilidad de que no llueva el lunes, si llovió el domingo.
  • P( B | A` ) = 0,80 = Probabilidad de que llueva el lunes, si no llovió el domingo.
  • P( B` |A` ) = 0,20 = Probabilidad de que no llueva el lunes, si no llovió el domingo.

Lo primero que calcularíamos normalmente es la probabilidad de que llueva el lunes: Esta sería la suma de la probabilidad de que "llueva el domingo y llueva el lunes" y de que "no llueva el domingo y llueva el lunes":

{\displaystyle 0.40\times 0.10+0.60\times 0.80=0.52=52\%} oportunidad

Sin embargo, si se nos pidiera que calculáramos la probabilidad de que lloviera el domingo, dado que llovió el lunes, aquí es donde entra en juego el teorema de Bayes. Nos permite calcular la probabilidad de un suceso anterior, dado el resultado de un suceso posterior.

La ecuación utilizada es:

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

En nuestro caso, "Lluvia el domingo" es el evento A, y "Lluvia el lunes" es el evento B.

  • P(B|A) = 0,10 = Probabilidad de que llueva el lunes, si llovió el domingo.
  • P(A) = 0,40 = Probabilidad de que llueva el domingo.
  • P(B) = 0,52 = Probabilidad de que llueva el lunes.

Así, para calcular la probabilidad de que lloviera el domingo, dado que llovió el lunes, utilizamos la fórmula

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

o:

{\displaystyle P(A|B)={\frac {0.10*0.40}{0.52}}=.0769}

En otras palabras, si llovió el lunes, hay un 7,69% de posibilidades de que haya llovido el domingo.


 

Explicación intuitiva

Para calcular la probabilidad de que haya llovido el domingo, dado que llovió el lunes, podemos seguir los siguientes pasos:

  • Sabemos que el lunes llovió. Por lo tanto, la probabilidad total es P(B).
  • La probabilidad de que haya llovido el domingo es P(A).
  • La probabilidad de que lloviera el lunes, dado que llovió el domingo es P(B|A).
  • La probabilidad de que llueva el domingo y llueva el lunes es P(A)*P(B|A).
  • Por lo tanto, la probabilidad total de que haya llovido el domingo, dado que llovió el lunes, es la probabilidad de que haya llovido el domingo y el lunes dividida por la probabilidad total de que haya llovido el lunes.

Por lo tanto,

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Otra forma de ver esto, que muestra de dónde viene el teorema de Bayes, es considerar la probabilidad P(AB) de que llueva tanto el domingo como el lunes. Esto se puede calcular de dos maneras diferentes, que dan la misma respuesta para P(AB):

{\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

En este sentido, el teorema de Bayes es sólo otra forma de escribir esa ecuación.


 

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el teorema de Bayes?

R: El teorema de Bayes es una fórmula matemática que muestra la relación entre una probabilidad condicional y su forma inversa.

P: ¿Quién era Thomas Bayes?

R: Thomas Bayes fue un matemático británico del siglo XVIII que desarrolló este teorema en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.

P: ¿Cómo se utiliza el teorema?

R: El teorema se utiliza para calcular la probabilidad de una hipótesis dadas algunas pruebas observadas, así como la probabilidad de esas pruebas dada la hipótesis.

P: ¿Qué otros nombres recibe este teorema?

R: Este teorema también se conoce como ley de Bayes o regla de Bayes.

P: ¿Cuándo desarrolló Thomas Bayes este teorema?

R: Thomas Bayes desarrolló este teorema en el siglo XVIII durante su trabajo en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.

P: ¿Cómo se pronuncia "Bayes"?

R: "Bayes" se pronuncia /ˈbeɪz/ o "bays".

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AlegsaOnline.com Teorema de Bayes: principio, fórmula y aplicaciones

URL: https://es.alegsaonline.com/art/9690

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