Número taxicab: definición, historia y ejemplos
Número taxicab: enteros representables como suma de dos cubos positivas en n formas distintas; origen con Hardy y Ramanujan, ejemplos famosos y variantes en teoría de números.
Un número taxicab es un entero que puede escribirse como suma de dos cubos positivos de enteros de n maneras diferentes (sin contar el orden de los sumandos). En notación habitual se usa Ta(n) para indicar el menor número que admite exactamente n descomposiciones de este tipo. La denominación proviene de una anécdota entre matemáticos que hizo popular el ejemplo de 1729.
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Definición y características
Formalmente, Ta(n) es el menor entero N para el cual existen n pares distintos {(a_i,b_i)} con a_i, b_i positivos tales que a_i^3 + b_i^3 = N. Aquí se consideran pares no ordenados (es decir, a+b y b+a cuentan como la misma representación). Existen variaciones: permitir ceros o cubos negativos produce secuencias diferentes, y en algunos trabajos se estudian además soluciones con componentes enteras no necesariamente positivas.
Historia y anécdota
El nombre quedó asociado a una famosa conversación entre G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan, cuando Hardy visitó a Ramanujan en el hospital y comentó que el número del taxi que lo había traído, 1729, parecía aburrido; Ramanujan replicó que era interesante porque era el menor número expresable como suma de dos cubos de dos formas distintas. La historia aparece citada a menudo en relatos sobre esos matemáticos y figura en numerosas referencias de la historia de la matemática: relato de la anécdota y biografías relacionadas con Ramanujan y sus contemporáneos.
Ejemplos y primeros valores
Los primeros valores ilustran la definición y la rápida complejidad del problema. Ta(1)=2 porque 2 = 1^3 + 1^3. El ejemplo clásico es Ta(2)=1729, con 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3. Para n=3 se conoce Ta(3), un número mucho mayor que admite tres descomposiciones distintas, lo que muestra cómo crecen estas constantes y la dificultad de hallarlas mediante cálculo directo.
Usos, relevancia y variantes
Aunque no tienen aplicaciones prácticas directas fuera de la matemática, los números taxicab interesan en teoría de números por su relación con ecuaciones diofánticas y con el estudio de sumas de potencias. La búsqueda de Ta(n) implica técnicas de computación intensa y contribuye al desarrollo de algoritmos y métodos para resolver ecuaciones de cubos. Existen además secuencias relacionadas, como las que permiten signos negativos o cuentan representaciones ordenadas.
Notas y referencias rápidas
- Para lecturas generales sobre el concepto y su contexto histórico, consulte trabajos divulgativos y biografías de matemáticos famosos.
- El término no guarda relación con los vehículos de alquiler; la coincidencia es anecdótica: no confundir con taxis.
- Investigaciones modernas han localizado valores de Ta(n) para varios n mediante búsquedas computacionales exhaustivas y técnicas de teoría de números.
La historia del taxi de Godfrey Hardy
Godfrey Hardy era profesor de matemáticas en la Universidad de Cambridge. Un día fue a visitar a un amigo, el joven y brillante matemático indio Srinivasa Ramanujan, que estaba enfermo. Ambos eran matemáticos y les gustaba pensar en los números.
Cuando Ramanujan se enteró de que Hardy había llegado en un taxi, le preguntó cuál era el número del mismo. Hardy dijo que era un número aburrido: 1729. Ramanujan respondió que 1729 no era un número aburrido en absoluto: era uno muy interesante. Explicó que era el número más pequeño que podía expresarse mediante la suma de dos cubos de dos formas diferentes.
Esta historia es muy famosa entre los matemáticos. 1729 se llama a veces el "número de Hardy-Ramanujan".
Explicación del número de Hardy-Ramanujan
- Cuando un número concreto se multiplica por sí mismo, la respuesta se llama "cuadrado", por ejemplo, 3x3=9, por lo que el número 9 es un cuadrado.
- Cuando un número concreto se multiplica tres veces por sí mismo, la respuesta se llama "cubo", por ejemplo, 3x3x3=27, por lo que el número 27 es un cubo.
- Otro ejemplo de cubo es el 8, porque es 2x2x2.
- 27+8=35, por lo que 35 es la "suma de dos cubos" ("suma" en este sentido significa "números que se suman").
Hay dos formas de decir que 1729 es la suma de dos cubos. 1x1x1=1; 12x12x12=1728. Así que 1+1728=1729 Pero también 9x9x9=729; 10x10x10=1000. Así que 729+1000=1729 Hay otros números que se puede demostrar que son la suma de dos cubos de más de una manera, pero 1729 es el más pequeño de ellos.
Números de taxis conocidos
Desde la famosa conversación entre Hardy y Ramanujan, los matemáticos han tratado de encontrar otros números interesantes que son el número más pequeño que se puede expresar mediante la suma de dos cubos de tres/cuatro/cinco formas diferentes. Estos números son muy, muy grandes, y han sido encontrados por ordenadores.
Hasta ahora se conocen los siguientes seis números de taxis (secuencia A011541 en la OEIS):
Ta ( 1 ) = 2 = 1 3 + 1 3 {\displaystyle \operatorname {Ta} (1)=2=1^{3}+1^{3}} 
Ta ( 2 ) = 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (2)&=&1729&=&1^{3}+12^{3}&&&=&9^{3}+10^{3}\end{matrix}} 
Ta ( 3 ) = 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (3)&=&87539319&=&167^{3}+436^{3}\\&&&=&228^{3}+423^{3}\\&&&=&255^{3}+414^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 4 ) = 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (4)&=&6963472309248&=&2421^{3}+19083^{3}\\&&&=&5436^{3}+18948^{3}\\&&&=&10200^{3}+18072^{3}\\&&&=&13322^{3}+16630^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 5 ) = 48988659276962496 = 38787 3 + 365757 3 = 107839 3 + 362753 3 = 205292 3 + 342952 3 = 221424 3 + 336588 3 = 231518 3 + 331954 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (5)&=& 48988659276962496&&=&38787^{3}+365757^{3}\\&&&=&107839^{3}+362753^{3}\\&&&=&205292^{3}+342952^{3}\\&&&=&221424^{3}+336588^{3}\\&&&=&231518^{3}+331954^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 6 ) = 24153319581254312065344 = 582162 3 + 28906206 3 = 3064173 3 + 28894803 3 = 8519281 3 + 28657487 3 = 16218068 3 + 27093208 3 = 17492496 3 + 26590452 3 = 18289922 3 + 26224366 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (6)&=&24153319581254312065344&=&582162^{3}+28906206^{3}\\&&&=&3064173^{3}+28894803^{3}\\&&&=&8519281^{3}+28657487^{3}\\&&&=&16218068^{3}+27093208^{3}\\&&&=&17492496^{3}+26590452^{3}\\&&&=&18289922^{3}+26224366^{3}\end{matrix}}} 
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Autor
AlegsaOnline.com Número taxicab: definición, historia y ejemplos Leandro Alegsa
URL: https://es.alegsaonline.com/art/96579