Cuantificador

Matemáticas

Esta declaración es infinitamente larga:

1 - 2 = 1 + 1, y 2 - 2 = 2 + 2, y 3 - 2 = 3 + 3, ..., y 100 - 2 = 100 + 100, y ..., etc.

Esto es un problema para los lenguajes formales, ya que un enunciado formal debe tener una longitud finita. Estos problemas pueden evitarse utilizando la cuantificación universal. El resultado es el siguiente enunciado compacto:

Para cada número natural n, n - 2 = n + n.

Del mismo modo, podemos acortar una secuencia infinita de declaraciones unidas por or:

1 es igual a 5 + 5, o 2 es igual a 5 + 5, o 3 es igual a 5 + 5, ... o 100 es igual a 5 + 5, o ..., etc.

que se puede reescribir utilizando la cuantificación existencial:

Para al menos un número natural n, n es igual a 5+5.

Notación

Los dos cuantificadores más utilizados son el cuantificador universal y el cuantificador de existencia.

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que para los elementos de un conjunto, todos los elementos coinciden con algún criterio. Normalmente, esta afirmación "para todos los elementos" se acorta con una "A" invertida, que es "∀".

El cuantificador existencial se utiliza para afirmar que, para los elementos de un conjunto, existe al menos un elemento que cumple algún criterio. Normalmente, esta afirmación "existe un elemento" se acorta con una "E" invertida, que es "∃".

Podemos reescribir un ejemplo de enunciado en inglés con símbolos, predicados que representan criterios y cuantificadores. El ejemplo es "A cada uno de los amigos de Pedro le gusta bailar o le gusta ir a la playa". Sea X el conjunto de todos los amigos de Pedro. Sea P(x) el predicado "a x le gusta bailar". Sea Q(x) el predicado "a x le gusta ir a la playa". Podemos reescribir el ejemplo utilizando la notación formal como ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{en }X,P(x)\lor Q(x)} . El enunciado puede leerse como "para todo x que sea miembro de X, P se aplica a x o Q se aplica a x".

Hay otras maneras de utilizar los cuantificadores en el lenguaje formal. Cada uno de los siguientes enunciados dice lo mismo que ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle {x} {\in }X,P(x)} :

• ∃ x P {\año de la pantalla \año de la pantalla \año de la pantalla \año}P
• ( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P}
• ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
• ∃ x ⋅ P {\aquí hay x\aquí hay \aquí hay \aquí hay \aquí hay P}
• ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)}
• ∃ x ∈ X P {\displaystyle \exists {x}{\in}X,P}
• ∃ x : X P {\a6}existe \a6},x{:}X,P}

Hay algunas formas más de representar el cuantificador universal:

• ( x ) P {\desde el punto de vista de la pantalla (x)\N-, P}
• ⋀ x P {\a6)

Varios enunciados anteriores incluyen explícitamente X, el conjunto de elementos a los que se aplica el cuantificador. Este conjunto de elementos también se conoce como el rango de la cuantificación, o el universo del discurso. Algunos de los enunciados anteriores no incluyen dicho conjunto. En este caso, habrá que especificar el conjunto antes del enunciado. Por ejemplo, "x es una manzana" debe enunciarse antes de ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)} . En este caso, estamos afirmando que al menos una manzana se ajusta al predicado P.

El uso de cuantificadores formalmente no requiere el uso del símbolo x. El símbolo x se ha utilizado a lo largo de este artículo, pero se puede utilizar cualquier símbolo, como y. Asegúrese de no referirse a dos cosas diferentes con el mismo símbolo cuando elija los símbolos.

Anidación

Es importante colocar los cuantificadores en el orden correcto. Este es un ejemplo de frase en inglés que muestra cómo el significado cambia con el orden:

Para todo número natural n, existe un número natural s tal que s = n ².

Esta afirmación es verdadera. Afirma que todo número natural tiene un cuadrado. Sin embargo, si invertimos el orden de los cuantificadores:

Existe un número natural s, tal que para todo número natural n, s = n ².

Esta afirmación es falsa. Afirma que hay un número natural s que es el cuadrado de cada número natural.

En determinadas circunstancias, cambiar el orden de los cuantificadores no cambia el significado del enunciado. Por ejemplo:

Existe un número natural x, y existe un número natural y tal que x = y ².

Otros cuantificadores

También hay cuantificadores menos comunes utilizados por los matemáticos.

Un ejemplo es el cuantificador de solución. Se utiliza para indicar qué elementos resuelven una determinada ecuación. El cuantificador de solución se representa con un § (signo de sección). Por ejemplo, el siguiente enunciado afirma que los cuadrados de 0, 1 y 2 son menores que 4. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left{0,1,2\right}}

Otros cuantificadores son:

• Hay muchos elementos tales que...
• Hay pocos elementos tales que...
• Hay infinitos elementos tales que...
• Para todos los elementos menos finitos... (a veces expresado como "para casi todos los elementos...").
• Hay un número incontable de elementos tales que...
• Para todos los elementos menos los contables...

Historia

La lógica terminológica fue desarrollada por Aristóteles. Era una forma temprana de lógica, e incluía la cuantificación. El uso de la cuantificación se acercaba más al del lenguaje natural. Esto significaba que los enunciados de la lógica de términos con cuantificadores eran menos adecuados para el análisis formal. La lógica de términos incluía cuantificadores para Todo, Algo y No (ninguno) en el siglo IV a.C.

En 1879, Gottlob Frege creó una notación para la cuantificación universal. A diferencia de lo que ocurre hoy en día, él representaba una cuantificación universal escribiendo una variable sobre un hoyo en una línea recta. Frege no creó una notación para la cuantificación existencial. En su lugar, combinó la cuantificación universal y una serie de negaciones para hacer una afirmación equivalente. El uso de Frege de la cuantificación no fue ampliamente conocido hasta la obra de Bertrand Russell Principios de Matemáticas de 1903.

En 1885, Charles Sanders Peirce y su estudiante Oscar Howard Mitchell también crearon una notación para cuantificadores universales y existenciales. Escribieron Π_xy Σ _xdonde ahora escribimos ∀x y ∃x. La notación de Pierce fue utilizada por muchos matemáticos hasta la década de 1950.

En 1897, William Ernest Johnson y Giuseppe Peano crearon otra notación para la cuantificación universal y existencial. Se vieron influenciados por la notación de cuantificación anterior de Pierce. Johnson y Peano utilizaron la simple (x) para la cuantificación universal, y ∃x para la cuantificación existencial. La influencia de Peano en las matemáticas difundió esta notación por toda Europa.

En 1935, Gerhard Gentzen creó el símbolo ∀ para la cuantificación universal. Su uso no se generalizó hasta la década de 1960.

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