Sólidos catalanes: definición y los 13 poliedros duales de los arquimedianos

Sólidos catalanes: definición y los 13 poliedros duales de los arquimedianos — descubre sus características, historia y geometría de estos poliedros convexos.

Los sólidos catalanes son una familia de poliedros convexos que aparecen en geometría como los poliedros duales (en el sentido geométrico) de los sólidos arquimedianos. Llevan el nombre del matemático belga Eugène Charles Catalan (1814–1894), que los estudió en el siglo XIX. Hay trece sólidos catalanes, uno por cada uno de los trece sólidos arquimedianos (contando los arquimedianos clásicos y sin incluir prismas ni antiprismas).

Definición y dualidad

Dos poliedros son duales entre sí cuando hay una correspondencia que intercambia caras por vértices y aristas por aristas, conservando la estructura de incidencia. En particular, el sólido catalán asociado a un arquimediano se obtiene geométricamente por la operación de reciprocidad polar respecto de una esfera centrada en el mismo centro del poliedro arquimediano. Así, cada cara del sólido catalán corresponde a un vértice del arquimediano y viceversa.

Propiedades principales

• Isoédricos (face-transitive): todos los sólidos catalanes son isoédricos, es decir, sus caras son congruentes entre sí y el grupo de simetría del poliedro actúa transitivamente sobre las caras.
• Caras no regulares: a diferencia de los poliedros arquimedianos, las caras de los catalanes normalmente no son polígonos regulares; suelen ser triángulos, rombos o deltoides (cuadriláteros en forma de cometa).
• No necesariamente vértice-transitivos: en general no son isótopos respecto de sus vértices (no todos los vértices son equivalentes), lo que contrasta con la arista/ vértice-simetría de los arquimedianos.
• Simetría: cada catalán comparte el mismo grupo de simetría que su arquimediano dual.
• Convexidad y relación con Euler: como poliedros convexos satisfacen la fórmula de Euler V − E + F = 2; la dualidad intercambia V y F.

Cómo se obtienen (construcción)

Una forma habitual de construir un sólido catalán a partir de su arquimediano dual es:

• Tomar una esfera centrada en el centro del arquimediano.
• Para cada cara del arquimediano, trazar el plano polar (o bien, para cada vértice tomar el plano tangente) y construir el poliedro formado por la envolvente de esos planos. El resultado es el poliedro dual cuyas caras corresponden a los vértices del original.

Geométricamente práctico: los vértices del catalán corresponden a los centros de las caras del arquimediano, y las caras del catalán resultan de «unir» esos centros siguiendo la red de aristas del arquimediano.

Usos y observaciones

• Los sólidos catalanes aparecen en cristalografía, modelado geométrico y en el estudio de empaquetamientos y subdivisiones poliédricas.
• Al ser isoédricos, se usan para estudiar teselaciones y mallas con caras congruentes.
• Son útiles pedagógicamente para entender el concepto de dualidad entre poliedros y la relación entre simetría, caras y vértices.

Los 13 sólidos catalanes (nombres comunes)

A continuación se enumeran los trece sólidos catalanes que corresponden a los trece sólidos arquimedianos clásicos:

• Triakis tetraedro
• Rombo dodecaedro (rhombic dodecahedron)
• Triakis octaedro
• Tetrakis hexaedro
• Deltoidal icositetraedro (deltoidal icositetrahedron)
• Disdiakis dodecaedro (disdyakis dodecahedron)
• Pentagonal icositetraedro
• Rombo triacontaedro (rhombic triacontahedron)
• Pentakis dodecaedro
• Triakis icosaedro
• Deltoidal hexecontaedro
• Disdiakis triacontaedro (disdyakis triacontahedron)
• Pentagonal hexecontaedro

Cada uno de estos nombres hace referencia a la forma o número de caras (por ejemplo, «triakis», «pentakis» indican caras triangulares añadidas sobre una base platónica o arquetípica; «deltoidal» indica caras con forma de deltoide; «rombo» designa caras rhombicas). Si se desea conocer la correspondencia exacta entre cada sólido arquimediano y su dual catalán, se puede obtener mediante la operación de dualidad mencionada o consultando tablas de poliedros en fuentes geométricas especializadas.

En resumen: los sólidos catalanes son los trece poliedros duales de los arquimedianos, son convexos e isoédricos, y constituyen una familia importante para comprender la dualidad y la simetría en la geometría de poliedros.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué son los sólidos catalanes?

P: ¿Cuántos sólidos catalanes existen?

P: ¿Quién es el matemático que da nombre a los sólidos catalanes?

P: ¿Qué tipo de poliedro es cada sólido catalán?

P: ¿Las superficies de los sólidos catalanes tienen la misma forma?

P: ¿Qué relación hay entre los sólidos catalanes y los arquimedianos?

P: ¿Qué rama de las matemáticas está relacionada con los sólidos catalanes y los sólidos arquimedianos?

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