0,999... (también escrito como 0,9, y se lee como "0 punto 9 repetido") es una de las formas en que se puede escribir el número 1 (uno). Aunque se escriba así, no importa cuántos nueves haya antes de la elipsis, su valor sigue siendo igual a 1.

 

Demostraciones sencillas

Hay varias formas equivalentes de ver que 0,999... = 1. A continuación se muestran tres demostraciones claras y accesibles.

  • Demostración algebraica clásica
    Sea x = 0,999.... Multiplicando por 10: 10x = 9,999.... Restando la primera ecuación de la segunda:
    10x − x = 9,999... − 0,999... ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.
  • Demostración como suma de una serie geométrica
    0,999... es la suma infinita 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... . Esto es una serie geométrica con primer término a = 9/10 y razón r = 1/10. La suma de la serie es
    S = a / (1 − r) = (9/10) / (1 − 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1.
  • Demostración por límite
    Consideremos la sucesión de aproximaciones finitas: 0,9; 0,99; 0,999; ... . El n-ésimo término es 1 − 10−n. El límite cuando n → ∞ de 1 − 10−n es 1, porque 10−n → 0. Por tanto la expansión decimal infinite 0,999... se interpreta como este límite y su valor es 1.

¿Por qué no es solo una aproximación?

Algunas personas piensan que 0,999... es "muy cercano a 1" pero distinto. En el sistema de los números reales no hay ningún número estrictamente entre 0,999... y 1: cualquier diferencia sería positiva y, por las demostraciones anteriores, debe ser a la vez 0 y positiva, lo cual es imposible. Es decir, 0,999... y 1 representan exactamente el mismo número real.

Sobre la representación decimal no única

En el sistema decimal ciertos números tienen dos representaciones posibles: una que termina (con ceros a partir de un cierto lugar) y otra que termina en repetición de nueves. Ejemplos:

  • 1 = 1,000... = 0,999...
  • 0,5 = 0,5000... = 0,4999...
  • 2,3 = 2,3000... = 2,2999...

La regla práctica: si una expansión decimal termina en un dígito distinto de cero, puedes disminuir ese dígito en 1 y escribir a continuación infinitos nueves para obtener la misma cantidad. Esto no es una contradicción del sistema decimal, sino una propiedad de la representación posicional.

Generalización a otras bases

Lo anterior no es exclusivo del sistema decimal (base 10). En cualquier base b, el número con cifras repetidas (b−1) es igual a 1. Por ejemplo, en base 2 (binaria) 0,111...2 = 12. En general, la repetición infinita de la máxima cifra de la base representa la unidad.

Nota sobre definiciones formales

Si se define el conjunto de los números reales por límites de sucesiones, por series convergentes o por cortes de Dedekind, en todos esos marcos la igualdad 0,999... = 1 queda garantizada. Es decir, la afirmación es coherente con las definiciones formales de número real usadas en matemáticas.

Resumen

0,999... no es una aproximación a 1: es exactamente 1. Se puede ver por manipulación algebraica, por suma de series geométricas o por tomar límites de sucesiones. Además, esto forma parte de una propiedad más general de las representaciones posicionales: algunos números admiten dos representaciones decimales distintas (una finita y otra con repetición de nueves).