0,999...: ¿Por qué es igual a 1? Definición y demostración
Descubre por qué 0,999... es igual a 1: explicación clara, definiciones y demostraciones matemáticas paso a paso.
0,999... (también escrito como 0,9, y se lee como "0 punto 9 repetido") es una de las formas en que se puede escribir el número 1 (uno). Aunque se escriba así, no importa cuántos nueves haya antes de la elipsis, su valor sigue siendo igual a 1.
Demostraciones sencillas
Hay varias formas equivalentes de ver que 0,999... = 1. A continuación se muestran tres demostraciones claras y accesibles.
- Demostración algebraica clásica
Sea x = 0,999.... Multiplicando por 10: 10x = 9,999.... Restando la primera ecuación de la segunda:
10x − x = 9,999... − 0,999... ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1. - Demostración como suma de una serie geométrica
0,999... es la suma infinita 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... . Esto es una serie geométrica con primer término a = 9/10 y razón r = 1/10. La suma de la serie es
S = a / (1 − r) = (9/10) / (1 − 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1. - Demostración por límite
Consideremos la sucesión de aproximaciones finitas: 0,9; 0,99; 0,999; ... . El n-ésimo término es 1 − 10−n. El límite cuando n → ∞ de 1 − 10−n es 1, porque 10−n → 0. Por tanto la expansión decimal infinite 0,999... se interpreta como este límite y su valor es 1.
¿Por qué no es solo una aproximación?
Algunas personas piensan que 0,999... es "muy cercano a 1" pero distinto. En el sistema de los números reales no hay ningún número estrictamente entre 0,999... y 1: cualquier diferencia sería positiva y, por las demostraciones anteriores, debe ser a la vez 0 y positiva, lo cual es imposible. Es decir, 0,999... y 1 representan exactamente el mismo número real.
Sobre la representación decimal no única
En el sistema decimal ciertos números tienen dos representaciones posibles: una que termina (con ceros a partir de un cierto lugar) y otra que termina en repetición de nueves. Ejemplos:
- 1 = 1,000... = 0,999...
- 0,5 = 0,5000... = 0,4999...
- 2,3 = 2,3000... = 2,2999...
La regla práctica: si una expansión decimal termina en un dígito distinto de cero, puedes disminuir ese dígito en 1 y escribir a continuación infinitos nueves para obtener la misma cantidad. Esto no es una contradicción del sistema decimal, sino una propiedad de la representación posicional.
Generalización a otras bases
Lo anterior no es exclusivo del sistema decimal (base 10). En cualquier base b, el número con cifras repetidas (b−1) es igual a 1. Por ejemplo, en base 2 (binaria) 0,111...2 = 12. En general, la repetición infinita de la máxima cifra de la base representa la unidad.
Nota sobre definiciones formales
Si se define el conjunto de los números reales por límites de sucesiones, por series convergentes o por cortes de Dedekind, en todos esos marcos la igualdad 0,999... = 1 queda garantizada. Es decir, la afirmación es coherente con las definiciones formales de número real usadas en matemáticas.
Resumen
0,999... no es una aproximación a 1: es exactamente 1. Se puede ver por manipulación algebraica, por suma de series geométricas o por tomar límites de sucesiones. Además, esto forma parte de una propiedad más general de las representaciones posicionales: algunos números admiten dos representaciones decimales distintas (una finita y otra con repetición de nueves).
Acerca de
0,999... es un decimal repetido, lo que significa que el dígito "9" se repite siempre. Es diferente de 0,999, que sólo tiene tres 9s.
0.999... también puede escribirse como 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}, 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}} 
0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}
o 0. ( 9 ) {\displaystyle 0.(9)\\\nbsp;
.
Para mucha gente es difícil entender por qué 0,999... es lo mismo que 1. Hay muchas pruebas que demuestran por qué son el mismo número, pero muchas de estas pruebas son muy complejas.
Ejemplos
Una forma sencilla de demostrar que 0,999... y 1 son la misma cosa es dividir ambos por el número 3. Al dividir 0,999... entre 3, la respuesta es 0,333..., que es lo mismo que1 ⁄3 (la fracción un tercio).
0,999 ... 3 = 0,333 ... = 1 3 {\displaystyle {0,999\ldots \over 3}=0,333\ldots ={frac {1}{3}} 
Cuando se divide 1 entre 3, la respuesta es1 ⁄3 . Como las respuestas son iguales, eso significa que 0,999... y 1 son iguales. Otra forma de pensarlo es que si ⁄13 = 0,333... y2 ⁄3 = 0,666..., entonces3 ⁄3 = 0,999... por tanto, como3 ⁄3 = 1, 0,999... también debe ser igual a 1. Hay muchas otras formas de demostrar esto.
Otra forma de demostrar que 0,999... = 1 es aceptar el simple hecho de que si dos números son diferentes, debe haber al menos un número entre ellos. Por ejemplo, un número entre 1 y 2 es 1,5, y un número entre 0,9 y 1 es 0,95. Como el 0,999... tiene un número infinito de 9s, no puede haber otro número después del "último" 9, lo que significa que no hay ningún número entre el 0,999... y el 1. Por lo tanto, son iguales.
Una prueba más común es tal:
x = 0.999... {\displaystyle x=0.999... } 
10 x = 9.999... {\displaystyle 10x=9.999... } 
10 x - 1 x = 9 x {\displaystyle 10x-1x=9x} 
9 x = 9.999... - 0.999... = 9 {\displaystyle 9x=9.999...-0.999...=9} 
x = 1 {\displaystyle x=1} 
0.999... = 1 {\displaystyle 0.999...=1} 
En la cultura popular
Con el desarrollo de Internet, las discusiones sobre 0,999... son frecuentes en los grupos de noticias y tablones de anuncios. Incluso los grupos de noticias y los tablones de mensajes que no tienen mucho que ver con las matemáticas discuten sobre esto. En el grupo de noticias sci.math, discutir sobre 0,999... es un "deporte popular". También es una de las preguntas de su FAQ.
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