0,999...
0,999... (también escrito como 0,9, y se lee como "0 punto 9 repetido") es una de las formas en que se puede escribir el número 1 (uno). Aunque se escriba así, no importa cuántos nueves haya antes de la elipsis, su valor sigue siendo igual a 1.
Acerca de
0,999... es un decimal repetido, lo que significa que el dígito "9" se repite siempre. Es diferente de 0,999, que sólo tiene tres 9s.
0.999... también puede escribirse como 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}, 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}} 
0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}
o 0. ( 9 ) {\displaystyle 0.(9)\\\nbsp;
.
Para mucha gente es difícil entender por qué 0,999... es lo mismo que 1. Hay muchas pruebas que demuestran por qué son el mismo número, pero muchas de estas pruebas son muy complejas.
Ejemplos
Una forma sencilla de demostrar que 0,999... y 1 son la misma cosa es dividir ambos por el número 3. Al dividir 0,999... entre 3, la respuesta es 0,333..., que es lo mismo que1 ⁄3 (la fracción un tercio).
0,999 ... 3 = 0,333 ... = 1 3 {\displaystyle {0,999\ldots \over 3}=0,333\ldots ={frac {1}{3}} 
Cuando se divide 1 entre 3, la respuesta es1 ⁄3 . Como las respuestas son iguales, eso significa que 0,999... y 1 son iguales. Otra forma de pensarlo es que si ⁄13 = 0,333... y2 ⁄3 = 0,666..., entonces3 ⁄3 = 0,999... por tanto, como3 ⁄3 = 1, 0,999... también debe ser igual a 1. Hay muchas otras formas de demostrar esto.
Otra forma de demostrar que 0,999... = 1 es aceptar el simple hecho de que si dos números son diferentes, debe haber al menos un número entre ellos. Por ejemplo, un número entre 1 y 2 es 1,5, y un número entre 0,9 y 1 es 0,95. Como el 0,999... tiene un número infinito de 9s, no puede haber otro número después del "último" 9, lo que significa que no hay ningún número entre el 0,999... y el 1. Por lo tanto, son iguales.
Una prueba más común es tal:
x = 0.999... {\displaystyle x=0.999... } 
10 x = 9.999... {\displaystyle 10x=9.999... } 
10 x - 1 x = 9 x {\displaystyle 10x-1x=9x} 
9 x = 9.999... - 0.999... = 9 {\displaystyle 9x=9.999...-0.999...=9} 
x = 1 {\displaystyle x=1} 
0.999... = 1 {\displaystyle 0.999...=1} 
En la cultura popular
Con el desarrollo de Internet, las discusiones sobre 0,999... son frecuentes en los grupos de noticias y tablones de anuncios. Incluso los grupos de noticias y los tablones de mensajes que no tienen mucho que ver con las matemáticas discuten sobre esto. En el grupo de noticias sci.math, discutir sobre 0,999... es un "deporte popular". También es una de las preguntas de su FAQ.
