Paradojas de Zenón

Aquiles y la tortuga

En la paradoja de Aquiles y la Tortuga, Aquiles está en una carrera a pie con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Supongamos que cada corredor empieza a correr a una velocidad constante, uno muy rápido y otro muy lento. Al cabo de un tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, hasta llegar al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga más lenta ha corrido una distancia mucho menor. A Aquiles le llevará un tiempo más recorrer esa distancia, y para entonces la tortuga habrá avanzado más. Entonces, Aquiles tardará aún más tiempo en llegar a este tercer punto, mientras que la tortuga vuelve a avanzar. Así, cada vez que Aquiles llega a un punto en el que la tortuga ha estado, aún le queda más camino por recorrer. Por lo tanto, como hay un número infinito de puntos a los que Aquiles debe llegar donde ya ha estado la tortuga, nunca podrá alcanzarla.

La paradoja de la dicotomía

Supongamos que alguien desea ir del punto A al punto B. Primero, debe recorrer la mitad del camino. Luego, debe recorrer la mitad del camino restante. Siguiendo así, siempre quedará una pequeña distancia por recorrer y nunca se alcanzará la meta. Siempre habrá otro número que añadir en una serie como 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... Por lo tanto, el movimiento desde cualquier punto A a cualquier punto B diferente se ve como una imposibilidad.

Comentario

Aquí es donde reside la paradoja de Zenón: ambas imágenes de la realidad no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Por lo tanto, o bien 1. Hay algo que no funciona en la forma en que percibimos la naturaleza continua del tiempo, 2. En realidad no existen cantidades discretas o incrementales de tiempo, distancia o quizás cualquier otra cosa, o 3. Hay una tercera imagen de la realidad que unifica las dos imágenes, la matemática y la matemática. Hay una tercera imagen de la realidad que unifica las dos imágenes -la matemática y la de sentido común o filosófica- que aún no tenemos las herramientas para comprender plenamente.

Soluciones propuestas

Pocas personas apostarían a que la tortuga ganaría la carrera contra un atleta. Pero, ¿qué hay de malo en el argumento?

Al empezar a sumar los términos de la serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., se puede observar que la suma se acerca cada vez más a 1, y nunca superará el 1. Aristóteles (que es la fuente de gran parte de lo que sabemos sobre Zenón) observó que a medida que la distancia (en la paradoja de la dicotomía) disminuye, el tiempo para recorrer cada distancia se hace cada vez más pequeño. Antes de 212 a.C., Arquímedes había desarrollado un método para obtener una respuesta finita para la suma de infinitos términos que se hacen progresivamente más pequeños (como 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). El cálculo moderno consigue el mismo resultado, utilizando métodos más rigurosos.

Algunos matemáticos, como w:Carl Boyer, sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los que el cálculo moderno proporciona una solución matemática. Sin embargo, las preguntas de Zenón siguen siendo problemáticas si uno se acerca a una serie infinita de pasos, un paso a la vez. Esto se conoce como una supertarea. En realidad, el cálculo no consiste en sumar números de uno en uno. En cambio, determina el valor (llamado límite) al que se aproxima la suma.

Ver los artículos de la Wikipedia en inglés

• Las paradojas de Zenón
• La cuadratura de la parábola
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• La lámpara de Thompson