Espacio topológico
Un espacio topológico es un espacio estudiado en topología, la matemática de la estructura de las formas. A grandes rasgos, es un conjunto de cosas (llamadas puntos) junto con una forma de saber qué cosas están cerca unas de otras.
Más concretamente, un espacio topológico tiene un cierto tipo de conjuntos, llamados conjuntos abiertos. Los conjuntos abiertos son importantes porque permiten hablar de puntos cercanos a otro punto, llamados vecindades del punto. Una vecindad de un punto es simplemente un conjunto abierto que contiene ese punto. Si no se tiene el concepto de conjunto abierto, no se pueden definir bien las vecindades. Si se intenta definir una vecindad de un punto como cualquier conjunto que contenga ese punto, puede que sólo incluya ese punto y sólo ese punto, y no otros puntos cercanos o lejanos. También tenemos el concepto de conjuntos cerrados, que son complementos de los conjuntos abiertos. Es decir, todos los puntos que no pertenecen a un determinado conjunto abierto forman un conjunto cerrado.
Los conjuntos abiertos deben seguir ciertas reglas para que coincidan con nuestras ideas de proximidad. La unión de cualquier número de conjuntos abiertos debe ser abierta, y la unión de un número finito de conjuntos cerrados debe ser cerrada. (La segunda regla sólo funciona para un número finito de conjuntos cerrados. Esto se debe a que, en muchos casos, un conjunto que contiene un solo punto es cerrado. Cualquier conjunto está formado por puntos. Si la segunda regla se aplicara a un número infinito de conjuntos cerrados, entonces todos los conjuntos serían cerrados). Como caso especial, el conjunto que contiene todos los puntos es a la vez abierto y cerrado. El conjunto que no contiene ningún punto también es abierto y cerrado.
Un conjunto de puntos puede tener muchas definiciones diferentes de lo que es un conjunto abierto. Se puede pensar que sólo ciertos conjuntos son abiertos, o que más conjuntos son abiertos. Incluso se puede considerar que todos los conjuntos son abiertos. Un mismo conjunto con diferentes definiciones de conjunto abierto forma diferentes espacios topológicos.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un espacio topológico?
R: Un espacio topológico es un conjunto de puntos junto con una forma de saber qué cosas están cerca unas de otras. Se estudia en las matemáticas de la estructura de las formas.
P: ¿Qué son los conjuntos abiertos?
R: Los conjuntos abiertos son importantes porque permiten hablar de puntos cercanos a otro punto, lo que se denomina vecindad del punto. Se definen como ciertos tipos de conjuntos que pueden utilizarse para definir vecindades de forma adecuada.
P: ¿Qué deben seguir los conjuntos abiertos?
R: Los conjuntos abiertos deben seguir ciertas reglas para que se ajusten a nuestras ideas de proximidad. La unión de cualquier número de conjuntos abiertos debe ser abierta, y la unión de un número finito de conjuntos cerrados debe ser cerrada.
P: ¿Cuál es el caso especial de los conjuntos abiertos y cerrados?
R: El caso especial de los conjuntos abiertos y cerrados es que el conjunto que contiene todos los puntos es a la vez abierto y cerrado, así como que el conjunto que no contiene ningún punto es a la vez abierto y cerrado.
P: ¿Cómo afectan las diferentes definiciones a los espacios topológicos?
R: Las distintas definiciones de lo que es un conjunto abierto pueden afectar a los espacios topológicos al considerar abiertos sólo determinados conjuntos o más de lo habitual, o incluso al considerar que todos los conjuntos son abiertos.
P: ¿Pueden infinitos números de conjuntos cerrados formar cualquier conjunto?
R: No, si se permitieran infinitos números de conjuntos cerrados entonces todo conjunto se consideraría cerrado ya que cualquier conjunto está formado sólo por puntos.
