Teorema Egregium de Gauss: curvatura gaussiana y definición

Descubre el Teorema Egregium de Gauss: explicación clara de la curvatura gaussiana, su invariancia ante flexiones y su importancia en geometría diferencial.

El Teorema Egregium de Gauss (del latín, "Teorema notable") es un resultado fundamental de la geometría diferencial demostrado por Carl Friedrich Gauss en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827). El teorema trata de la curvatura de las superficies y establece que la curvatura gaussiana de una superficie puede determinarse únicamente a partir de medidas intrínsecas de la superficie: ángulos, distancias y sus derivadas sobre la propia superficie. No es necesario conocer la forma particular en que la superficie está incrustada en el espacio euclidiano tridimensional circundante. En otras palabras, la curvatura gaussiana de una superficie no cambia si se dobla (es decir, si se aplica una isometría local) sin estirarla ni deformarla.

Gauss presentó el teorema de esta manera (traducido del latín):

Por esta razón, la fórmula del artículo anterior conduce por sí misma al notable Teorema. Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto no cambia.

El teorema resulta "notable" porque la definición inicial de la curvatura gaussiana utiliza la posición de la superficie en el espacio (a través de la segunda forma fundamental y las normales). Sin embargo, Gauss demostró que esa cantidad puede expresarse únicamente con la primera forma fundamental (los coeficientes que dan la métrica inducida en la superficie) y sus derivadas, es decir, con información intrínseca. Por eso sorprende que el valor de la curvatura no dependa de la incrustación espacial pese a las deformaciones de flexión y torsión.

Definición y formulaciones

Para una superficie regular en R^3, la curvatura gaussiana K en un punto se puede definir como el producto de las curvaturas principales k1 y k2: K = k1·k2. En coordenadas locales (u,v) se usan los coeficientes de la primera forma fundamental E, F, G y los de la segunda forma fundamental L, M, N; con ellos existe la expresión

K = (L·N − M^2) / (E·G − F^2).

El aporte esencial de Gauss fue probar que, aunque la fórmula anterior involucra la segunda forma fundamental (que parece depender de la inmersión en R^3), la combinación (L·N − M^2)/(E·G − F^2) puede reescribirse exclusivamente en términos de E, F, G y sus derivadas parciales hasta segundo orden. Por tanto K es una función intrínseca de la métrica inducida por la superficie.

Consecuencias y ejemplos

• Isometrías locales preservan K: cualquier mapeo que preserve longitudes en cada vecindad (una isometría local) mantiene la curvatura gaussiana en cada punto. Por eso se puede enrollar una hoja de papel (plana) en un cilindro sin cambiar K (ambas tienen K = 0).
• Ejemplos típicos:
  • Plano: K = 0.
  • Cilindro (desarrollo del plano): K = 0.
  • Esfera de radio R: K = 1/R^2 (curvatura positiva constante).
  • Superficies tipo silla de montar o la pseudoesfera: K < 0 (curvatura negativa).
• Relaciones geométricas: la curvatura gaussiana aparece en fórmulas que relacionan el ángulo interior de triángulos geodésicos con el área (fórmula del exceso gaussiano) y en el teorema de Gauss–Bonnet que conecta la curvatura total con la topología de la superficie.

Importancia y aplicaciones

El Teorema Egregium cimentó la idea de que la geometría de una superficie puede ser estudiada desde dentro, sin referencia al espacio ambiente. Esto dio lugar al desarrollo de la geometría riemanniana y, posteriormente, al formalismo matemático empleado en la teoría de la relatividad general (aunque la curvatura de Riemann en dimensiones mayores y la curvatura gaussiana en 2D son conceptos relacionados pero distintos).

En aplicaciones prácticas, la distinción entre propiedades intrínsecas y extrínsecas es importante en disciplinas como la ingeniería (doblado de chapas), la cartografía (imposibilidad de representar isométricamente la esfera en el plano sin distorsión de áreas o ángulos en general) y la modelización geométrica por computadora.

Notas históricas

Gauss llamó al resultado "egregium" (notable) y lo consideró particularmente elegante porque mostraba una propiedad oculta de la curvatura que no dependía de la representación externa. Publicó la demostración en 1827 y desde entonces el teorema ha sido un pilar de la geometría diferencial.

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