Hipótesis de Poincaré
La conjetura de Poincaré es una cuestión sobre las esferas en matemáticas. Lleva el nombre de Henri Poincaré, el matemático y físico francés que la formuló en 1904.
La esfera (también llamada 2-esfera, ya que es una superficie bidimensional, aunque suele verse como dentro de un espacio tridimensional) tiene la propiedad de que cualquier bucle en ella puede contraerse hasta un punto (si se enrolla una goma elástica alrededor de la esfera, es posible deslizarla hasta un punto). Los matemáticos dicen que la 2-esfera es simplemente conexa. Otros espacios no tienen esta propiedad, por ejemplo el donut: una goma elástica que rodea todo el donut una vez no puede deslizarse hasta un punto sin que salga de la superficie.
Los matemáticos sabían que esta propiedad era exclusiva de la 2-esfera, en el sentido de que cualquier otro espacio simplemente conectado que no tenga aristas y sea lo suficientemente pequeño (en términos matemáticos, es decir, compacto) es de hecho la 2-esfera. Sin embargo, esto deja de ser cierto si eliminamos la idea de pequeñez, ya que un plano infinitamente grande también es simplemente conexo. Asimismo, un disco regular (un círculo y su interior) es simplemente conexo, pero tiene un borde (el círculo delimitador).
La conjetura plantea si lo mismo es cierto para la 3-esfera, que es un objeto que vive naturalmente en cuatro dimensiones. Esta cuestión ha motivado gran parte de las matemáticas modernas, especialmente en el campo de la topología. El matemático ruso Grigori Perelman resolvió finalmente la cuestión en 2002, con métodos de la geometría, demostrando que efectivamente es cierta. Por su trabajo se le concedió la Medalla Fields y el Premio del Milenio, de un millón de dólares, que rechazó.
La conjetura de Poincaré también puede extenderse a dimensiones superiores: es la conjetura de Poincaré generalizada. Sorprendentemente, fue más fácil demostrar el hecho para esferas de mayor dimensión: en 1960, Smale demostró que era cierto para la 5-esfera, la 6-esfera y las superiores. En 1982, Freedman demostró que también era cierto para la 4ª esfera, por lo que se le concedió la medalla Fields.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la Conjetura de Poincaré?
R: La conjetura de Poincaré es una cuestión sobre esferas en matemáticas, llamada así por Henri Poincaré, que se pregunta si ciertas propiedades de la 2-esfera son también ciertas para la 3-esfera.
P: ¿Qué propiedad tiene la 2-esfera?
R: La 2-esfera tiene la propiedad de que cualquier bucle en ella puede contraerse a un punto.
P: ¿Esta propiedad es exclusiva de la 2-esfera?
R: Esta propiedad es exclusiva de la 2-esfera en lo que se refiere a espacios pequeños que no tienen aristas. Sin embargo, un plano infinitamente grande y un disco regular (un círculo y su interior) son ambos simplemente conectados pero sí tienen aristas.
P: ¿Quién demostró que era cierto para esferas de dimensiones superiores?
R: En 1960, Smale demostró que era cierto para esferas de 5, 6 y más dimensiones, y en 1982 Freedman demostró que también era cierto para esferas de 4 dimensiones.
P: ¿Quién resolvió la conjetura de Poincaré?
R: La conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelman, un matemático ruso que utilizó métodos de la geometría para demostrar que efectivamente es cierta.
P: ¿Qué premios recibió Perelman por su trabajo?
R: Perelman recibió una Medalla Fields y un Premio del Milenio de un millón de dólares por su trabajo en la resolución de la conjetura de Poincaré; sin embargo, rechazó ambos galardones.
