Eliminación gaussiana

En matemáticas, la eliminación gaussiana (también llamada reducción de filas) es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, un famoso matemático alemán que escribió sobre este método, pero no lo inventó.

Para realizar la eliminación gaussiana, se utilizan los coeficientes de los términos del sistema de ecuaciones lineales para crear un tipo de matriz llamada matriz aumentada. A continuación, se utilizan operaciones elementales de fila para simplificar la matriz. Los tres tipos de operaciones de fila utilizados son:

Tipo 1: Cambio de una fila por otra.

Tipo 2: Multiplicar una fila por un número distinto de cero.

Tipo 3: Sumar o restar una fila de otra fila.

El objetivo de la eliminación gaussiana es obtener la matriz en forma de escalera. Si una matriz está en forma de fila-echelón, eso significa que leyendo de izquierda a derecha, cada fila comenzará con al menos un término cero más que la fila de arriba. Algunas definiciones de la eliminación gaussiana dicen que el resultado de la matriz tiene que estar en forma reducida de fila-echelón. Esto significa que la matriz está en forma de fila-echelón y el único término distinto de cero en cada fila es 1. La eliminación gaussiana que crea un resultado matricial de fila-echelón reducido se llama a veces eliminación de Gauss-Jordan.

Ejemplo

Supongamos que el objetivo es encontrar las respuestas a este sistema de ecuaciones lineales.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+\\;&&y&&\;-\;&&z&&\\\\\a}\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

En primer lugar, hay que convertir el sistema en una matriz aumentada. En una matriz aumentada, cada ecuación lineal se convierte en una fila. En un lado de la matriz aumentada, los coeficientes de cada término de la ecuación lineal se convierten en números de la matriz. En el otro lado de la matriz aumentada están los términos constantes a los que es igual cada ecuación lineal. Para este sistema, la matriz aumentada es:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\3&-1&2&-11\2&2&2&3\end{array}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

A continuación, se pueden realizar operaciones de fila en la matriz aumentada para simplificarla. La siguiente tabla muestra el proceso de reducción de filas en el sistema de ecuaciones y en la matriz aumentada.

Sistema de ecuaciones	Operaciones en fila	Matriz aumentada
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+\;&&y&&;-\;&&z&&;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\3&-1&2&-11\2&2&2&3\end{array}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y&&\;-&&;z&&&;=&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y\;&&-&&;z\;&&=&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {{displaystyle R_{3}+-4R_{2}}rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&-1&1\end{array}}right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

La matriz está ahora en forma de fila-echelón. Esto también se llama forma triangular.

Sistema de ecuaciones	Operaciones en fila	Matriz aumentada
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y\;&&&&;\;&&=\;&&7&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}R_{3}{rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}{rightarrow R_{1} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&;\;&&=\;&&7&\\\\\_&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {{displaystyle -R_{3}{rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&;&&\;&&&&;\\;&&=\\2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}{rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1. ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

La matriz está ahora en forma reducida de fila-echelón. La lectura de esta matriz nos dice que las soluciones de este sistema de ecuaciones se dan cuando x = 2, y = 3 y z = -1.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la eliminación gaussiana?

R: La eliminación gaussiana es un método utilizado en matemáticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

P: ¿A quién debe su nombre?

R: Debe su nombre a Carl Friedrich Gauss, un famoso matemático alemán que escribió sobre este método, pero no lo inventó.

P: ¿Cómo se realiza la eliminación de Gauss?

R: La eliminación de Gauss se realiza utilizando los coeficientes de los términos del sistema de ecuaciones lineales para crear una matriz aumentada. A continuación, se utilizan operaciones elementales de fila para simplificar la matriz.

P: ¿Cuáles son los tres tipos de operaciones de fila que se utilizan en la eliminación de Gauss?

R: Los tres tipos de operaciones de fila que se utilizan en la eliminación de Gauss son: Cambiar una fila por otra, Multiplicar una fila por un número distinto de cero y Sumar o restar una fila de otra.

P: ¿Cuál es el objetivo de la eliminación de Gauss?

R: El objetivo de la eliminación gaussiana es obtener la matriz en forma fila-echelón.

P: ¿Qué es la forma fila-echelón?

R: Si una matriz está en forma fila-echelón, significa que leyendo de izquierda a derecha, cada fila empezará con al menos un término cero más que la fila superior.

P: ¿Qué es la forma fila-echelón reducida?

R: La forma fila-echelón reducida significa que la matriz está en forma fila-echelón y que el único término distinto de cero en cada fila es 1. La eliminación de Gauss que crea un resultado de matriz fila-echelón reducida a veces se llama eliminación de Gauss-Jordan.