Eliminación gaussiana: definición, métodos y ejemplos para sistemas lineales

Guía práctica de eliminación gaussiana: definición, métodos paso a paso y ejemplos resueltos para dominar la resolución de sistemas lineales.

Autor: Leandro Alegsa

22-03-2026 14:32

En matemáticas, la eliminación gaussiana (también llamada reducción de filas) es un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, un famoso matemático alemán que trabajó y describió el método, aunque no fue su descubridor original.

¿Qué se hace y por qué?

La idea principal es transformar el sistema en una matriz aumentada (con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes) y aplicar operaciones elementales sobre las filas para llevar dicha matriz a una forma más sencilla desde la que se pueda leer la solución del sistema o detectar si no existe o es indeterminado.

Operaciones elementales de fila

Las operaciones que se permiten son tres y preservan el conjunto de soluciones del sistema:

Tipo 1: Intercambiar dos filas.
Tipo 2: Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.
Tipo 3: Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.

Formas escalonadas

El objetivo usual es obtener la matriz en forma de fila-echelón (forma escalonada). En esa forma, cada fila no nula comienza con más ceros iniciales que la fila anterior; además los pivotes (primeros elementos no nulos de cada fila) están a la derecha de los pivotes de las filas superiores. Si, además, cada pivote es 1 y es el único elemento no nulo en su columna, la matriz está en forma reducida de fila-echelón (reduced row-echelon form). El proceso que conduce directamente a la forma reducida suele llamarse eliminación de Gauss–Jordan.

Algoritmo paso a paso (eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás)

Un procedimiento típico de eliminación gaussiana consta de dos fases:

Eliminación hacia adelante: convertir la matriz aumentada en una matriz de fila-echelón usando operaciones elementales. Esto implica seleccionar un pivote (idealmente distinto de cero), usarlo para anular los elementos por debajo en su columna y continuar con la submatriz inferior.
Sustitución hacia atrás: una vez que la matriz está en forma de fila-echelón, resolver las incógnitas empezando por la última ecuación no nula (la que tiene menos incógnitas) y retrocediendo hacia arriba.

Para mejorar la estabilidad numérica, es habitual aplicar pivoteo parcial (intercambiar filas para colocar en el pivote el elemento de mayor valor absoluto de la columna) o pivoteo total (intercambiar filas y columnas). El coste computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente O(n³) para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Ejemplo paso a paso

Resolver el sistema

x + 2y − z = 3
2x + 3y + z = 7
−x + y + 2z = −4

Matriz aumentada inicial:

[ 1 2 −1 | 3 ]
[ 2 3 1 | 7 ]
[−1 1 2 | −4 ]

1) Eliminar debajo del primer pivote (1):

R2 ← R2 − 2·R1 ⇒ [0 −1 3 | 1]
R3 ← R3 + 1·R1 ⇒ [0 3 1 | −1]

Ahora la matriz es:

[ 1 2 −1 | 3 ]
[ 0 −1 3 | 1 ]
[ 0 3 1 | −1 ]

2) Usamos el pivote de la segunda fila (−1) y eliminamos debajo:

R3 ← R3 + 3·R2 ⇒ [0 0 10 | 2]

La matriz escalonada queda:

[ 1 2 −1 | 3 ]
[ 0 −1 3 | 1 ]
[ 0 0 10 | 2 ]

3) Escalamos la tercera fila para tener pivote 1:

R3 ← (1/10)·R3 ⇒ [0 0 1 | 0.2]

4) Sustitución hacia atrás (o eliminación hacia arriba):

De R3: z = 0.2 = 1/5.

De R2: −y + 3z = 1 ⇒ −y + 3·0.2 = 1 ⇒ y = −0.4 = −2/5.

De R1: x + 2y − z = 3 ⇒ x + 2(−0.4) − 0.2 = 3 ⇒ x = 4.

Solución: x = 4, y = −2/5, z = 1/5.

Casos especiales y relaciones con el rango

Si durante la eliminación aparece una fila de la forma [0 0 ... 0 | b] con b ≠ 0, el sistema es inconsistente (sin solución).
Si el número de pivotes (el rango de la matriz de coeficientes) es menor que el número de incógnitas y no hay contradicción, el sistema tiene infinitas soluciones; quedan variables libres que se parametrizan.
El teorema de Rouché–Capelli relaciona rango de la matriz de coeficientes y de la aumentada para determinar existencia y cantidad de soluciones.

Aplicaciones y consideraciones numéricas

La eliminación gaussiana sirve también para calcular inversas de matrices (aplicando el proceso a la matriz aumentada [A | I]) y como paso clave para obtener la factorización LU (A = LU).
En implementación numérica, el pivoteo parcial suele ser suficiente para garantizar estabilidad en la mayoría de los casos; sin embargo, problemas mal condicionados pueden amplificar errores y requerir técnicas más robustas o aritmética de mayor precisión.
El método es fundamental en álgebra lineal computacional y está implementado en todas las bibliotecas numéricas estándar.

En resumen, la eliminación gaussiana es una herramienta sistemática y versátil para tratar sistemas lineales: permite encontrar soluciones únicas, detectar sistemas incompatibles o describir soluciones infinitas, y sirve como base para muchas otras técnicas en álgebra lineal y cálculo numérico.

Ejemplo

Supongamos que el objetivo es encontrar las respuestas a este sistema de ecuaciones lineales.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+\\;&&y&&\;-\;&&z&&\\\\\a}\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

En primer lugar, hay que convertir el sistema en una matriz aumentada. En una matriz aumentada, cada ecuación lineal se convierte en una fila. En un lado de la matriz aumentada, los coeficientes de cada término de la ecuación lineal se convierten en números de la matriz. En el otro lado de la matriz aumentada están los términos constantes a los que es igual cada ecuación lineal. Para este sistema, la matriz aumentada es:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\3&-1&2&-11\2&2&2&3\end{array}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

A continuación, se pueden realizar operaciones de fila en la matriz aumentada para simplificarla. La siguiente tabla muestra el proceso de reducción de filas en el sistema de ecuaciones y en la matriz aumentada.

Sistema de ecuaciones	Operaciones en fila	Matriz aumentada
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+\;&&y&&;-\;&&z&&;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\3&-1&2&-11\2&2&2&3\end{array}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y&&\;-&&;z&&&;=&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y\;&&-&&;z\;&&=&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {{displaystyle R_{3}+-4R_{2}}rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&-1&1\end{array}}right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

La matriz está ahora en forma de fila-echelón. Esto también se llama forma triangular.

Sistema de ecuaciones	Operaciones en fila	Matriz aumentada
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y\;&&&&;\;&&=\;&&7&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}R_{3}{rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}{rightarrow R_{1} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&;\;&&=\;&&7&\\\\\_&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {{displaystyle -R_{3}{rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&;&&\;&&&&;\\;&&=\\2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}{rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1. ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

La matriz está ahora en forma reducida de fila-echelón. La lectura de esta matriz nos dice que las soluciones de este sistema de ecuaciones se dan cuando x = 2, y = 3 y z = -1.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la eliminación gaussiana?

R: La eliminación gaussiana es un método utilizado en matemáticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

P: ¿A quién debe su nombre?

R: Debe su nombre a Carl Friedrich Gauss, un famoso matemático alemán que escribió sobre este método, pero no lo inventó.

P: ¿Cómo se realiza la eliminación de Gauss?

R: La eliminación de Gauss se realiza utilizando los coeficientes de los términos del sistema de ecuaciones lineales para crear una matriz aumentada. A continuación, se utilizan operaciones elementales de fila para simplificar la matriz.

P: ¿Cuáles son los tres tipos de operaciones de fila que se utilizan en la eliminación de Gauss?

R: Los tres tipos de operaciones de fila que se utilizan en la eliminación de Gauss son: Cambiar una fila por otra, Multiplicar una fila por un número distinto de cero y Sumar o restar una fila de otra.

P: ¿Cuál es el objetivo de la eliminación de Gauss?

R: El objetivo de la eliminación gaussiana es obtener la matriz en forma fila-echelón.

P: ¿Qué es la forma fila-echelón?

R: Si una matriz está en forma fila-echelón, significa que leyendo de izquierda a derecha, cada fila empezará con al menos un término cero más que la fila superior.

P: ¿Qué es la forma fila-echelón reducida?

R: La forma fila-echelón reducida significa que la matriz está en forma fila-echelón y que el único término distinto de cero en cada fila es 1. La eliminación de Gauss que crea un resultado de matriz fila-echelón reducida a veces se llama eliminación de Gauss-Jordan.

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