Expansión binomial: definición, fórmulas y ejemplos

Aprende la expansión binomial: definición clara, fórmulas esenciales y ejemplos resueltos paso a paso para dominar (x+y)^n y el teorema binomial.

Autor: Leandro Alegsa

La expansión binomial utiliza una expresión para hacer una serie. Utiliza una expresión entre paréntesis como ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}}. Hay tres expansiones binomiales.

Definición

La expansión binomial de un binomio (una suma de dos términos) eleva ese binomio a una potencia entera no negativa n y lo expresa como suma de términos monomiales. En forma general,

(x + y)n = suma de términos con potencias de x y y, cuyos coeficientes dependen de n.

Fórmula general (Teorema del binomio)

El teorema del binomio establece que

(x + y)n = ∑k=0n C(n,k) xn−k yk,

donde C(n,k) son los coeficientes binomiales y se calculan como:

C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)

Esto significa que el término general es C(n,k) xn−k yk, con k desde 0 hasta n.

Coeficientes binomiales y Triángulo de Pascal

  • Los coeficientes C(n,k) aparecen como la fila n del Triángulo de Pascal. Cada número dentro del triángulo es la suma de los dos números directamente superiores.
  • Propiedades útiles:
    • Simetría: C(n,k) = C(n,n−k).
    • Suma de coeficientes: ∑k=0n C(n,k) = 2n (se obtiene al evaluar (1+1)n).
    • Suma alternada: ∑k=0n (−1)k C(n,k) = 0 para n ≥ 1 (se obtiene evaluando (1−1)n).

Tres expansiones comunes (casos pequeños de n)

  • n = 1:

    (x + y) = x + y.

  • n = 2:

    (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

  • n = 3:

    (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

Ejemplos resueltos

  • Ejemplo 1: Expandir (2x − 3)3.

    Aplicando la fórmula para n = 3 y recordando que y = −3: (2x − 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(−3) + 3(2x)(−3)2 + (−3)3 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27.

  • Ejemplo 2: Coeficiente del término x4 en (x + 2)6.

    Término general: C(6,k) x6−k 2k. Para que la potencia de x sea 4, 6−k = 4 → k = 2. El coeficiente es C(6,2)·22 = 15·4 = 60.

Generalización: serie binomial de Newton

Cuando el exponente no es un entero no negativo (por ejemplo, α real o complejo), existe una expansión en serie infinita válida si |y/x| < 1 (o |y| < |x|) que se conoce como la serie binomial o fórmula de Newton:

(1 + t)α = ∑k=0∞ C(α,k) tk, donde C(α,k) = α(α−1)...(α−k+1)/k!.

Esta serie converge para |t| < 1 y permite ampliar casos como raíces fraccionarias y desarrollos en series de potencias.

Aplicaciones y observaciones

  • La expansión binomial se usa en álgebra elemental, cálculo (series de Taylor), probabilidades (distribución binomial) y combinatoria.
  • Conocer el Triángulo de Pascal facilita calcular rápidamente coeficientes sin usar factoriales grandes.
  • Para operaciones prácticas de expansión, se suele combinar el uso de coeficientes binomiales y propiedades de signos cuando aparece un término negativo.

Si desea, puedo mostrar la fila n del Triángulo de Pascal para un n dado, expandir un binomio específico paso a paso o explicar la demostración del teorema del binomio.

Las fórmulas

Existen básicamente tres fórmulas de expansión binomial:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

  

1º (Plus)

( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

2° (Menos)

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\cdot (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}

3º (Plus-Minus)

Podemos explicar por qué existen estas 3 fórmulas con una simple expansión del producto:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}. {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}. {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\cdot (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}. {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}

Usando el triángulo de Pascal

Si n {\displaystyle n}n es un número entero ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }} ), utilizamos el triángulo de Pascal.


Para expandir ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}}{\displaystyle (x+y)^{2}}:

  • encontrar la fila 2 del triángulo de Pascal (1, 2, 1)
  • expandir x {\displaystyle x}x e y {\displaystyle y}y para que la potencia de x {\displaystyle x}x baje en 1 cada vez desde n {\displaystyle n}n hasta 0 y la ypotencia de y {\displaystyle y} suba en 1 cada vez desde 0 hasta n {\displaystyle n} n
  • veces los números del triángulo de Pascal con los términos correctos.


Entonces ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}} {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}


Por ejemplo:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}


Así que, por regla general:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

donde a i {desde el estilo a_{i}}{\displaystyle a_{i}} es el número en la fila n {desde el estilo n} ny la posición i {desde el estilo i} {\displaystyle i}en el triángulo de Pascal.

Ejemplos

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3} {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}

 

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}} {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}

 

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}} {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}. {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \},=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la expansión binomial?



R: La expansión binomial es un método matemático que utiliza una expresión para crear una serie utilizando la expresión entre paréntesis (x+y)^n.

P: ¿Cuál es el concepto básico de la expansión binomial?



R: El concepto básico de la expansión binomial es expandir la potencia de una expresión binomial en una serie.

P: ¿Qué es una expresión binomial?



R: Una expresión binomial es una expresión algebraica que contiene dos términos conectados por un signo más o menos.

P: ¿Cuál es la fórmula de la expansión binomial?



R: La fórmula de la expansión binomial es (x+y)^n, donde n es el exponente.

P: ¿Cuántos tipos de expansiones binomiales existen?



R: Existen tres tipos de expansiones binomiales.

P: ¿Cuáles son los tres tipos de expansiones binomiales?



R: Los tres tipos de expansión binomial son: primera expansión binomial, segunda expansión binomial y tercera expansión binomial.

P: ¿Qué utilidad tiene la expansión binomial en los cálculos matemáticos?



R: La expansión binomial es útil en los cálculos matemáticos ya que ayuda a simplificar expresiones complicadas y a resolver problemas complejos.


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