La expansión binomial utiliza una expresión para hacer una serie. Utiliza una expresión entre paréntesis como ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}}. Hay tres expansiones binomiales.

Definición

La expansión binomial de un binomio (una suma de dos términos) eleva ese binomio a una potencia entera no negativa n y lo expresa como suma de términos monomiales. En forma general,

(x + y)n = suma de términos con potencias de x y y, cuyos coeficientes dependen de n.

Fórmula general (Teorema del binomio)

El teorema del binomio establece que

(x + y)n = ∑k=0n C(n,k) xn−k yk,

donde C(n,k) son los coeficientes binomiales y se calculan como:

C(n,k) = n! / (k! (n−k)!)

Esto significa que el término general es C(n,k) xn−k yk, con k desde 0 hasta n.

Coeficientes binomiales y Triángulo de Pascal

  • Los coeficientes C(n,k) aparecen como la fila n del Triángulo de Pascal. Cada número dentro del triángulo es la suma de los dos números directamente superiores.
  • Propiedades útiles:
    • Simetría: C(n,k) = C(n,n−k).
    • Suma de coeficientes: ∑k=0n C(n,k) = 2n (se obtiene al evaluar (1+1)n).
    • Suma alternada: ∑k=0n (−1)k C(n,k) = 0 para n ≥ 1 (se obtiene evaluando (1−1)n).

Tres expansiones comunes (casos pequeños de n)

  • n = 1:

    (x + y) = x + y.

  • n = 2:

    (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

  • n = 3:

    (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

Ejemplos resueltos

  • Ejemplo 1: Expandir (2x − 3)3.

    Aplicando la fórmula para n = 3 y recordando que y = −3: (2x − 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(−3) + 3(2x)(−3)2 + (−3)3 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27.

  • Ejemplo 2: Coeficiente del término x4 en (x + 2)6.

    Término general: C(6,k) x6−k 2k. Para que la potencia de x sea 4, 6−k = 4 → k = 2. El coeficiente es C(6,2)·22 = 15·4 = 60.

Generalización: serie binomial de Newton

Cuando el exponente no es un entero no negativo (por ejemplo, α real o complejo), existe una expansión en serie infinita válida si |y/x| < 1 (o |y| < |x|) que se conoce como la serie binomial o fórmula de Newton:

(1 + t)α = ∑k=0∞ C(α,k) tk, donde C(α,k) = α(α−1)...(α−k+1)/k!.

Esta serie converge para |t| < 1 y permite ampliar casos como raíces fraccionarias y desarrollos en series de potencias.

Aplicaciones y observaciones

  • La expansión binomial se usa en álgebra elemental, cálculo (series de Taylor), probabilidades (distribución binomial) y combinatoria.
  • Conocer el Triángulo de Pascal facilita calcular rápidamente coeficientes sin usar factoriales grandes.
  • Para operaciones prácticas de expansión, se suele combinar el uso de coeficientes binomiales y propiedades de signos cuando aparece un término negativo.

Si desea, puedo mostrar la fila n del Triángulo de Pascal para un n dado, expandir un binomio específico paso a paso o explicar la demostración del teorema del binomio.